在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 (英語:Circle)[註 1][1]
圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的图形。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[2]到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。
约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
古代埃及人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。
解析几何[编辑]
- 直角坐标系中的定义:
,其中a是半径,
是圆心坐标。
- 参数方程的定义:
,![{\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ced878a975d821e6cf3f117c7014e3c59a6e57)
- 极坐标方程的定义(圆心在原点):
![{\displaystyle r=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e193cdce556664593cd0a8347617f5284d0364c9)
圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用
表示)。[3]
圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦(英語:chord)。如图2,
分别为圆上任意两点,那么
就是圆的弦
圆上任意两点间的部分叫做弧(英語:arc),通常用符号
表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[3]
直径、半径[编辑]
直径:经过圆心的弦叫做直径(用
表示)。[1]
半径(英語:radius):在圆中,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,半径用字母
表示。
![{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb3869920767dbb074dd8bac490dee10a4dff6e)
假如一条直线与圆相交僅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相交的点叫做切点。如[1]如下图,直线
与圆只有一个交点
,那么
就是圆的切线。
过圆上一点的切线:设该点为
圆的方程为
则该点和圆的切线方程为:
- 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
- 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
- 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英語:Secant Theorem)。[1]如图,直线
与圆有两个公共点,那么直线
就是圆的割线。
θ 的正割是从 0 到 Q的距离.
圆的一周的长度称为圆的周长(记作
)。圆的周长与半径的关系是:
或 ![{\displaystyle C=2\pi r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398305eb631c365e21449ec4e9c9d7dca3f8c788)
其中
是圆周率。
圆的面积与半径的关系是:
对称性[编辑]
圆既是轴对称图形又是中心对称图形,圆的对称轴为经过圆心
的任意直线,圆的对称中心为圆心
[3]
圓心角、圆周角[编辑]
图2:弦、圆周角、圆心角
圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为
。[註 2][1]如右图,
为圆的圆心,那么
为圆心角。
圆周角:顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。如右图,
的顶点
在圆周上,
的两边
分别交在圆周上,那么
就是圆周角。
圆心角定理[编辑]
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距[註 3]相等,此定理也称“一推三定理”。[3]
圆周角定理[编辑]
圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。[3]
如上图,
为圆心,
分别为圆周上的点,那麼:
- 证明:
![{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a14fdeda08f798fa1deb24dc653469e8c768c5d)
![{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b8cdc6d9ffac4ee664d1c2a845f50b7f59effa)
![{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a553e5b5fa1c21c5d0ffb6cc9fd7b6f40a082d07)
![{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725a82851334c06b635661c89df8548ea2766976)
- 即:
![{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2683c6b7072b934976086c7898ab817bdce7d2ae)
圆周角定理的推论:
推论
:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论
:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
推论
:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
垂径定理[编辑]
垂径定理示意图
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。[3]如图,直径
弦
,那么
平分
且平分
- 推论1:(1)平分弦[註 4]的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
- (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
- (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
兩圓位置關係[编辑]
兩個不同大小的圓(半徑分別為
及
,圓心距為
,其中
)之間的可能關係如下:
:兩圓不相交(內含),互為同心圓。
:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。
圆系方程[编辑]
在数学中,符合特定条件的圆构成一个集合,称为圆系,描述圆系的方程即为圆系方程。
类型:
- 过两圆
与
交点的圆系方程为:
+λ(
)=0(λ≠-1)
- 过直线
与圆
的交点为:
+λ(
)=0
- 过两圆
与
交点的直线方程为:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b2dbe94325b9e6069f0ca83c4f942abddb2461)
其他定义[编辑]
- 椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹,椭圆的形状可以用离心率来表示;圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率
的情况。
- 在三維空間,球面被設定為是在
空間中與一個定點距離為
的所有點的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。
是球的特例,稱為單位球。
在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。
相關的立体图形[编辑]
切面為圓的三維形狀有:
圓和其他平面形狀[编辑]
當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面积最大(參見等周定理)。
圓的問題[编辑]
参考资料[编辑]
[[Category:圆| ]]
[[Category:圆锥曲线|Y]]
[[Category:定宽曲线]]
[[Category:初等几何|Y]]
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