在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓 (英語:Circle)[註 1][1]
圓形,是一個看來簡單,實際上是十分奇妙的圖形。古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[2]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走。
約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。
古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子(約公元前468-前376年)才給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得(約公元前330-前275年)給圓下定義要早100年。
解析幾何[編輯]
- 直角坐標系中的定義:
,其中a是半徑,
是圓心坐標。
- 參數方程的定義:
,![{\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ced878a975d821e6cf3f117c7014e3c59a6e57)
- 極坐標方程的定義(圓心在原點):
![{\displaystyle r=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e193cdce556664593cd0a8347617f5284d0364c9)
圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用
表示)。[3]
圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的弦(英語:chord)。如圖2,
分別為圓上任意兩點,那麼
就是圓的弦
圓上任意兩點間的部分叫做弧(英語:arc),通常用符號
表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[3]
直徑、半徑[編輯]
直徑:經過圓心的弦叫做直徑(用
表示)。[1]
半徑(英語:radius):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母
表示。
![{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb3869920767dbb074dd8bac490dee10a4dff6e)
假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的點叫做切點。如[1]如下圖,直線
與圓只有一個交點
,那麼
就是圓的切線。
過圓上一點的切線:設該點為
圓的方程為
則該點和圓的切線方程為:
- 性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑.
- 推論1:經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點.
- 推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem)。[1]如圖,直線
與圓有兩個公共點,那麼直線
就是圓的割線。
θ 的正割是從 0 到 Q的距離.
圓的一周的長度稱為圓的周長(記作
)。圓的周長與半徑的關係是:
或 ![{\displaystyle C=2\pi r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398305eb631c365e21449ec4e9c9d7dca3f8c788)
其中
是圓周率。
圓的面積與半徑的關係是:
對稱性[編輯]
圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,圓的對稱軸為經過圓心
的任意直線,圓的對稱中心為圓心
[3]
圓心角、圓周角[編輯]
圖2:弦、圓周角、圓心角
圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為
。[註 2][1]如右圖,
為圓的圓心,那麼
為圓心角。
圓周角:頂點在圓周上,角兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖,
的頂點
在圓周上,
的兩邊
分別交在圓周上,那麼
就是圓周角。
圓心角定理[編輯]
同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距[註 3]相等,此定理也稱「一推三定理」。[3]
圓周角定理[編輯]
圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。[3]
如上圖,
為圓心,
分別為圓周上的點,那麼:
- 證明:
![{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a14fdeda08f798fa1deb24dc653469e8c768c5d)
![{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b8cdc6d9ffac4ee664d1c2a845f50b7f59effa)
![{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a553e5b5fa1c21c5d0ffb6cc9fd7b6f40a082d07)
![{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725a82851334c06b635661c89df8548ea2766976)
- 即:
![{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2683c6b7072b934976086c7898ab817bdce7d2ae)
圓周角定理的推論:
推論
:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧。
推論
:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
推論
:若三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形
垂徑定理[編輯]
垂徑定理示意圖
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。[3]如圖,直徑
弦
,那麼
平分
且平分
- 推論1:(1)平分弦[註 4]的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧。
- (2)弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
- (3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧
兩圓位置關係[編輯]
兩個不同大小的圓(半徑分別為
及
,圓心距為
,其中
)之間的可能關係如下:
:兩圓不相交(內含),互為同心圓。
:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。
圓系方程[編輯]
在數學中,符合特定條件的圓構成一個集合,稱為圓系,描述圓系的方程即為圓系方程。
類型:
- 過兩圓
與
交點的圓系方程為:
+λ(
)=0(λ≠-1)
- 過直線
與圓
的交點為:
+λ(
)=0
- 過兩圓
與
交點的直線方程為:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b2dbe94325b9e6069f0ca83c4f942abddb2461)
其他定義[編輯]
- 橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡,橢圓的形狀可以用離心率來表示;圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點重合,離心率
的情況。
- 在三維空間,球面被設定為是在
空間中與一個定點距離為
的所有點的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。
是球的特例,稱為單位球。
在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨着測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。
相關的立體圖形[編輯]
切面為圓的三維形狀有:
圓和其他平面形狀[編輯]
當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大(參見等周定理)。
圓的問題[編輯]
參考資料[編輯]
[[Category:圆| ]]
[[Category:圆锥曲线|Y]]
[[Category:定宽曲线]]
[[Category:初等几何|Y]]
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標籤,但沒有找到相應的<references group="註" />
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