User:A2560862780/圆

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 （英語：Circle）

历史

更多信息：几何原本和墨子

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的图形。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。 古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

性质

解析几何

• 直角坐标系中的定义：$(x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=a^{2}$，其中a是半径，$(x_{m},y_{m})$是圆心坐标。
• 参数方程的定义：$x=x_{m}+a\cos \theta$，$y=y_{m}+a\sin \theta$
• 极坐标方程的定义（圆心在原点）：$r=a$

圆心

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用$O$表示）。

弦

圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦(英語：chord）。如图2，$A,B$分别为圆上任意两点，那么$AB$就是圆的弦

弧

圆上任意两点间的部分叫做弧(英語：arc)，通常用符号$\frown$表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。

直径、半径

直径：经过圆心的弦叫做直径（用$d$表示）。
半径(英語：radius)：在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，半径用字母$r$表示。

$k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}$

切线

主条目：切线

假如一条直线与圆相交僅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相交的点叫做切点。如如下图，直线$QP$与圆只有一个交点$P$,那么$QP$就是圆的切线。 过圆上一点的切线：设该点为$P(x_{o},y_{o}),$圆的方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r,$则该点和圆的切线方程为：$(x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}.$

• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
• 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
• 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

割线

一条直线与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线(英語：Secant Theorem)。如图，直线$QO$与圆有两个公共点，那么直线$QO$就是圆的割线。

θ 的正割是从 0 到 Q的距离.

周长

圆的一周的长度称为圆的周长（记作$C$）。圆的周长与半径的关系是：

$C=\pi d$ 或 $C=2\pi r$

其中$\pi$是圆周率。

面积

圆的面积与半径的关系是：$S=\pi r^{2}$

对称性

圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称轴为经过圆心$O$的任意直线,圆的对称中心为圆心$O$

圓心角、圆周角

更多信息：扇形

图2：弦、圆周角、圆心角

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为$\theta =({\frac {L}{2\pi r}})\times 360^{\circ }={\frac {L}{r}}$。如右图,$M$为圆的圆心，那么$\angle AMB$为圆心角。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。如右图，$\angle ACB$的顶点$C$在圆周上，$\angle ACB$的两边$AC,BC$分别交在圆周上，那么$\angle ACB$就是圆周角。

圆心角定理

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，此定理也称“一推三定理”。

圆周角定理

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
如上图，$M$为圆心，$A,B,C$分别为圆周上的点,那麼：$\angle AMB=2\;\angle ACB$

证明：$\because BM=CM,AM=CM$

$\because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM$

$\therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM$

$\because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM$

$\therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)$

即：$\angle AMB=2\;\angle ACB$

圆周角定理的推论：
推论$1$：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论$2$：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。
推论$3$：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

更多信息：勾股定理

垂径定理

垂径定理示意图

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。如图，直径$BE\perp$弦$AC$，那么$BE$平分$AC$且平分$overset{\frown }{AC}$

• 推论1：（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

• 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

兩圓位置關係

兩個不同大小的圓（半徑分別為$r$及$R$，圓心距為$d$，其中$r<R$）之間的可能關係如下：

1. $d=0$：兩圓不相交（內含），互為同心圓。
2. $0<d<R-r$：兩圓不相交（內含，亦稱「內離」）。
3. $d=R-r$：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。
4. $d=R+r$：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。
5. $R-r<d<R+r$：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。
6. $d>R+r$：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

圆系方程

在数学中，符合特定条件的圆构成一个集合，称为圆系，描述圆系的方程即为圆系方程。

类型：

• 过两圆$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}$与$x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}$交点的圆系方程为：

• • $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}$+λ($x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}$）=0（λ≠-1）

• 过直线$Ax+By+C=0$与圆$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}$的交点为:

• • $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}$+λ($Ax+By+C$)=0

• 过两圆$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}$与$x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}$交点的直线方程为：

• • $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0$

其他定义

更多信息：椭圆和离心率

• 椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹，椭圆的形状可以用离心率来表示；圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个焦点重合，离心率$\varepsilon =0$的情况。

主条目：球面

更多信息：立体几何和欧几里得

• 在三維空間，球面被設定為是在$R^{3}$空間中與一個定點距離為$r$的所有點的集合，此處r是一個正的實數，稱為半徑，固定的點稱為球心或中心，並且不屬於球面的範圍。$r=1$是球的特例，稱為單位球。

在測度空間中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的集合，不過隨著測度的不同，定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓，實際上的形狀（在一般的觀點中）會是一個正方形。

相關的立体图形

切面為圓的三維形狀有：

• 球體
• 扁球體
• 圓錐體
• 圓柱體
• 圆台

圓和其他平面形狀

• 外接圓
• 內切圓
• 旁切圓

當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面积最大（參見等周定理）。

圓的問題

• 化圓為方是指用尺規作圖的方法將畫出和一個已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。
• 塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。

参见

• 圆锥曲线
• 球 (数学)

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