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常层

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数学中,拓扑空间X上与集合A相关联的常层(constant sheaf)是X上的集合层,其全部等于A,记作。值为A常预层(constant presheaf)是为X的每个开子集赋A值的预层,其所有限制映射都是恒等映射。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。[1]

有时,集合A可换成某范畴中的对象A(如阿贝尔群范畴交换环范畴)。

阿贝尔群的常层会作为系数出现于层上同调

基本情形

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X为拓扑空间,A为集合。常层在开集U上的截面可解释为连续函数,其中A具有离散拓扑。若U连通,则这些局部常函数就是常的。若是到单点空间的唯一映射A被视作上的层,则逆像X上的常层层空间是射影映射A(其中被赋予离散拓扑)。

详细例子

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2点离散空间上的常预层
2点离散拓扑空间

X是两点pq组成的拓扑空间,具有离散拓扑X有4个开集:。图中显示了X的开集的5个非平凡包含。 X上的预层为X的每个开集选择一个集合,并为9个包含(5个非平凡,4个平凡)的每个选择一个限制映射。值为常预层(将表为F)选择4个集合均为(整数集)、选择9个限制映射均为恒等映射。F函子,因此也是预层,因为它是常的;其满足胶合公理,但不是层,因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖:空集上F的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此,局部恒等公理意味着F在空集上的任意两截面都相等,但实际上并非如此。

类似地,在空集上满足局部恒等公理的预层G的构造如下。设,其中0是单元集。在非空集合上,为G赋值。对开集的每个包含,若较小的集合是空的,则G返回到0的唯一映射;否则,返回上的恒等映射。

常层的中间步骤

注意:由于空集的局部恒等公理,所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层,尤其适用于任何层。 G是分离预层(即满足局部恒等公理),但不满足胶合公理,这与F不同。被两开集覆盖,交为空。上的截面是的元素,即是一个数。选择上的截面m上的截面n,假定;由于mn上限制于同一个元素0,胶合公理要求在上存在唯一截面s,其在上限制到m,在上限制到n。但由于的限制映射是恒等映设,所以,于是有,自相矛盾。

2点拓扑空间上的常层

太小了,无法同时携带的信息。设,就可以将其放大以满足胶合公理。令为两射影映射;定义。对剩下的开集和包含,令HX上的常层,值为。由于是环,且所有限制映射都是环同态,所以H是交换环层。

另见

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参考文献

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  1. ^ Does the extension by zero sheaf of the constant sheaf have some nice description?. Mathematics Stack Exchange. [2022-07-08]. (原始内容存档于2022-09-24) (英语).