常層

數學中，拓撲空間X上與集合A相關聯的常層（constant sheaf）是X上的集合層，其莖全部等於A，記作 ${\underline {A}}$ 或 $A_{X}$ 。值為A的常預層（constant presheaf）是為X的每個開子集賦A值的預層，其所有限制映射都是恆等映射 $A\to A$ 。關聯於A的常層是關聯於A的常預層的層化。這個層等同於X上局部常的A-值函數的層。^[1]

有時，集合A可換成某範疇 ${\textbf {C}}$ 中的對象A（如 ${\textbf {C}}$ 是阿貝爾群範疇或交換環範疇）。

阿貝爾群的常層會作為係數出現於層上同調。

基本情形[編輯]

設X為拓撲空間，A為集合。常層 ${\underline {A}}$ 在開集U上的截面可解釋為連續函數 $U\to A$ ，其中A具有離散拓撲。若U連通，則這些局部常函數就是常的。若 $f:X\to \{{\text{pt}}\}$ 是到單點空間的唯一映射，A被視作 $\{{\text{pt}}\}$ 上的層，則逆像 $f^{-1}A$ 是X上的常層 ${\underline {A}}$ 。 ${\underline {A}}$ 的層空間是射影映射A（其中 $X\times A\to X$ 被賦予離散拓撲）。

詳細例子[編輯]

設X是兩點p、q組成的拓撲空間，具有離散拓撲。X有4個開集： $\varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}$ 。圖中顯示了X的開集的5個非平凡包含。 X上的預層為X的每個開集選擇一個集合，並為9個包含（5個非平凡，4個平凡）的每個選擇一個限制映射。值為 ${\textbf {Z}}$ 的常預層（將表為F）選擇4個集合均為 ${\textbf {Z}}$ （整數集）、選擇9個限制映射均為恆等映射。F是函子，因此也是預層，因為它是常的；其滿足膠合公理，但不是層，因為在空集上局部恆等公理失效——空集被空集族覆蓋：空集上F的任意兩截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恆等公理意味着F在空集上的任意兩截面都相等，但實際上並非如此。

類似地，在空集上滿足局部恆等公理的預層G的構造如下。設 $G(\varnothing )=0$ ，其中0是單元集。在非空集合上，為G賦值 ${\textbf {Z}}$ 。對開集的每個包含，若較小的集合是空的，則G返回到0的唯一映射；否則，返回 ${\textbf {Z}}$ 上的恆等映射。

注意：由於空集的局部恆等公理，所有涉及空集的限制映射都是無趣的。這適用於任何滿足空集局部恆等公理的預層，尤其適用於任何層。 G是分離預層（即滿足局部恆等公理），但不滿足膠合公理，這與F不同。 $\{p,q\}$ 被兩開集 $\{p\},\ \{q\}$ 覆蓋，交為空。 $\{p\}$ 或 $\{q\}$ 上的截面是 ${\textbf {Z}}$ 的元素，即是一個數。選擇 $\{p\}$ 上的截面m、 $\{q\}$ 上的截面n，假定 $m\neq n$ ；由於m、n在 $\varnothing$ 上限制於同一個元素0，膠合公理要求在 $G(\{p,q\})$ 上存在唯一截面s，其在 $\{p\}$ 上限制到m，在 $\{q\}$ 上限制到n。但由於 $\{p,q\}$ 到 $\{p\}$ 的限制映射是恆等映設，所以 $s=m,\ s=n$ ，於是有 $m=n$ ，自相矛盾。

$G(\{p,q\})$ 太小了，無法同時攜帶 $\{p\}$ 、 $\{q\}$ 的信息。設 $H(\{p,q\})=\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z}$ ，就可以將其放大以滿足膠合公理。令 $\pi _{1}$ 、 $\pi _{2}$ 為兩射影映射 $\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z} \to \mathbf {Z}$ ；定義 $H(\{p\})={\text{im}}(\pi _{1})=\mathbf {Z}$ ， $H(\{q\})={\text{im}}(\pi _{2})=\mathbf {Z}$ 。對剩下的開集和包含，令 $H=G$ 。H是X上的常層，值為 ${\textbf {Z}}$ 。由於 ${\textbf {Z}}$ 是環，且所有限制映射都是環同態，所以H是交換環層。