独立性 (数理逻辑)

在数理逻辑上，独立性指的是一个句子相对于其他句子的不可证明性。

若一个句子$\sigma$独立于一个一阶理论$T$，那就表示说$\sigma$在$T$中是不能证明也不能否证的，也就是说不能由$T$证明$\sigma$，也不能由$T$证明$\sigma$为伪。对于这样的$\sigma$，有时会说$\sigma$在$T$中是不可判定的，而这里的“不可判定”跟决定性问题中的“不可判定”是不同的。

若理论$T$中的每项公设都不能由$T$中的其他公设证明，则说$T$是独立的，一个有着独立公设集合的理论又称可独立公设化的。

用法注意

在一些作者的用法下，“$\sigma$独立于$T$”只表示“$\sigma$在$T$中是不能证明的”，但不表示$\sigma$是不能否证的，而这些作者在讲说“$\sigma$在$T$中是不能证明也不能否证的”时候，常会说“$\sigma$是独立且自洽于$T$的。”

集合论中的独立结果

• 选择公理
• 连续统假设
• 苏斯林问题

在假定ZFC（带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）本身自洽的状况下，下述的问题是独立于ZFC的：

• 强不可达基数的存在性
• 大基数的存在性
• 库瑞巴树的存在性

下述的问题不相容于选择公理，故不与ZFC相容；然而这些问题很可能独立于ZF；换句话说下述的问题不能在ZF中证明，且只有少数的集合论专家期望在ZF中找到这些问题的否证；然而即使ZF是自洽的，也无法以ZF证明下述的问题独立于ZF：

• 决定公理
• 实决定公理
• AD+

在物理理论上的应用

自2000年起，学界开始认为逻辑独立性在物理基础上扮演着关键角色。

参见

• ZFC系统无法确定的命题列表
• 几何等领域的平行公设

参考资料

• Mendelson, Elliott, An Introduction to Mathematical Logic 4th, London: Chapman & Hall, 1997, ISBN 978-0-412-80830-2 
• Monk, J. Donald, Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90170-1  含有内容需登入查看的页面 (link)
• Stabler, Edward Russell, An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1948