在数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以
符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。
固定
中的格
(
在
上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是
。
显然右式只与格
相关,无关于基
之选取。
的元素也称作周期。
另一方面,格
在取适当的全纯同态
后可表成
,其中
属于上半平面。对于这种形式的格,
。
反之,由此亦可导出对一般的格之公式
![{\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4697dfe85bc4108cc86b62207e31ac3a0723d42)
在数值计算方面,
可以由Θ函数快速地计算,方程是
![{\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f9c99244c5b95e7970a8b9d7ae2df3c3a2f432)
- 在周期格中的每个点,
有二阶极点。
是偶函数。
- 复导函数
是奇函数。
加法定理[编辑]
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01f2cac877672d4d013f985c38d88b217861c09)
假设
,上式有一个较对称的版本
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1919616dcc398b54cf89135a3be0380ef1d7c2a6)
此外
![{\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c55f9862800133de62f3ca92d53436c9e172e6)
魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式:若
不是周期,则
![{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc721cc388d5ec639acaf369d9beeb1f3f5cb0f5)
微分方程与积分方程[编辑]
定义
(依赖于
)为
![{\displaystyle g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36a93c31bc54b19b0a53ae22223c7e1da4d0b8)
![{\displaystyle g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37272640510a33a06f747485ee9df3c7c06c8dd3)
求和符号
意谓取遍所有非零的
。当
时,它们可由艾森斯坦级数
表示。
则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程
。
故
给出了从复环面
映至三次复射影曲线
的全纯映射;可证明这是同构。
另一方面,将上式同除以
,积分后可得
。
右侧是复平面上的路径积分,对不同的路径
,其积分值仅差一个
的元素;所以左式应在复环面
中考虑。在此意义下,魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。
模判别式[编辑]
续用上节符号,模判别式
定义为下述函数
![{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75aea810f524692943a624bb693bea38b79ab402)
视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。
- Stein. Complex Analysis.
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21
外部链接[编辑]