魏尔斯特拉斯椭圆函数

在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass's elliptic functions）又称 p 函数并且以 $\wp$ 符号表示，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

魏尔斯特拉斯p函数的符号

定义

固定 $\mathbb {C}$ 中的格 $\Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}$（ $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ 在 $\mathbb {Q}$ 上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

$\wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}$。

显然右式只与格 $\Lambda \,$ 相关，无关于基 $\omega _{1},\omega _{2}\,$ 之选取。$\Lambda \,$ 的元素也称作周期。

另一方面，格 $\Lambda \,$ 在取适当的全纯同态 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 后可表成 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau$，其中 $\tau \,$ 属于上半平面。对于这种形式的格，

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}$。

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

$\wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)$

在数值计算方面，$\wp$ 可以由Θ函数快速地计算，方程是

$\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]$

• 在周期格中的每个点，$\wp$ 有二阶极点。
• $\wp$ 是偶函数。
• 复导函数 $\wp '$ 是奇函数。

加法定理

$\det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0$

假设 $u+v+w=0$，上式有一个较对称的版本

$\det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0$

此外

$\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).$

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 $2z$ 不是周期，则

$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),$

微分方程与积分方程

定义 $g_{2},g_{3}$（依赖于 $\Lambda$）为

$g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}$

$g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}$

求和符号 $\sum '_{w}$ 意谓取遍所有非零的 $w$。当 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau$ 时，它们可由艾森斯坦级数 $G_{4},G_{6}$ 表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

$\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}$。

故 $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$ 给出了从复环面 $\mathbb {C} /\Lambda$ 映至三次复射影曲线 $y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$ 的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以 $\wp '$，积分后可得

$z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}$。

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 $\wp (z_{1})\to \wp (z_{2})$，其积分值仅差一个 $\Lambda$ 的元素；所以左式应在复环面 $\mathbb {C} /\Lambda$ 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

模判别式

续用上节符号，模判别式 $\Delta$ 定义为下述函数

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

文献

• Stein. Complex Analysis.
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部链接

• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.