貝爾數以埃里克·坦普爾·貝爾命名,是組合數學中的一組整數數列,開首是(OEIS的(OEIS數列A000110)數列):
Bell Number
![{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeffed4db7d86945a10c16e5a22243bcc8ac277)
Bn是基數為n的集合的劃分方法的數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族,它們的並是S。例如B3 = 5因為3個元素的集合{a, b, c}有5種不同的劃分方法:
- {{a}, {b}, {c}}
- {{a}, {b, c}}
- {{b}, {a, c}}
- {{c}, {a, b}}
- {{a, b, c}};
B0是1因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合(這是Vacuous truth,因為空集實際上沒有成員),而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。
貝爾數適合遞推公式:
![{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5e86ffce7a32cab4eebff361de96f3e08db4f0)
上述組合公式的證明:
可以這樣來想,
是含有n+1個元素集合的劃分的個數,考慮元素
假設他被單獨劃分到一類,那麼還剩下n個元素,這種情況下劃分個數為
;
假設他和某一個元素被劃分為一類,那麼還剩下n-1個元素,這種情況下劃分個數為
;
假設他和某兩個元素被劃分為一類,那麼還剩下n-2個元素,這種情況下劃分個數為
;
依次類推,得到了上述組合公式
它們也適合「Dobinski公式」:
期望值為1的泊松分數的n次矩。
它們也適合「Touchard同餘」:若p是任意質數,那麼
![{\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e44d1a89cbc4a0ac1ca69481e9e3c08870fb75)
每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和
![{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae139ffa25497affa2f79f03025fdd9818812db)
Stirling數S(n, k)是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。
把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式,其系數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。
貝爾數的指數母函數是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307aca47b7267551e4087742a0d2f608967a50a3)
貝爾三角形[編輯]
用以下方法建構一個三角矩陣(形式類似楊輝三角形):
- 第一行第一項是1(
)
- 對於n>1,第n行第一項等同第n-1行最後一項。(
)
- 對於m,n>1,第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。(
)
結果如下:(OEIS:A011971)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}1\\1&&&&2&&&&\\2&&&&3&&&&5&&&&\\5&&&&7&&&&10&&&&15&&&&\\15&&&&20&&&&27&&&&37&&&&52&&&&\\52&&&&67&&&&87&&&&114&&&&151&&&&203&&&&\\203&&&&255&&&&322&&&&409&&&&523&&&&674&&&&877&&&&\\877&&&&1080&&&&1335&&&&1657&&&&2066&&&&2589&&&&3263&&&&4140&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a558484fb4e20fb7fd8d75bc1dcaffcab9a5575f)
每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數。
這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。