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贝尔数

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贝尔数(英语:Bell number)是组合数学中的一组整数数列,以埃里克·坦普尔·贝尔命名,首几个贝尔数为:

Bell Number
OEIS数列A000110

性质

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基数的集合的划分方法的数目。集合的划分是的两两不相交的非空子集的,它们的并是。例如,,因为有3个元素的集合有5种不同的划分方法: 。

;


因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成员),而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数满足递推公式:

上述组合公式的证明:

可以这样来想,是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素

假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为

假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为

假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为

依次类推,得到了上述组合公式


它们也适合“Dobinski公式”:

期望值为1的泊松分数n次矩。

它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

Stirling数Sn, k)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布n以首n累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数

贝尔三角形

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用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):

  • 第一行第一项是1(
  • 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(
  • 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(

结果如下:(OEIS:A011971

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。

参考

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