在數論上,費馬-卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣,而這猜想認為,以下的等式
![{\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dcbe41acc8ecb96d7844850b9d1d3da83b304d) | | (1) |
僅有有限多個
彼此互質,且
滿足下列條件的解:
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43c25cdf9f6f61e2795ce4d9318b903313189da) | | (2) |
這個給出
條件的不等式是猜想的必要成分,而這是因為沒有這不等式的話,這結果就會有無限多的解,像例如在
的狀況下,
顯然有無限多的解;而在
的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理,而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。
已知解[編輯]
截至2015年為止,等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解,而這些解如下:[1]
(在
的狀況下這滿足不等式(2))
![{\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1718454167d76583c10140116381338a9692ca9)
![{\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a5dba85b5b3b7fc59c336d88ca34f28f915bf2)
![{\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e4f4d745b2b05d826b6e3bed549da95f41c949)
![{\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7929fcd100798be1a019cddc3f7ac28b6496ac)
![{\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4522462348031553822809ccb98ca8cb3b9cc92)
![{\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af9cd371583f7e885bb82ee5b1d1002bfe6a4f9)
![{\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e0c0a19073ae7748e32876c35d033697e60f79)
![{\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77246507623d0370759a78275493321a50d2300b)
![{\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecac39e31a3eecbd5d6cd5a5b4fcddebb6de71c)
根據在普雷達·米哈伊列斯庫於2002年證明的卡塔蘭猜想,這些等式中的第一個,也就是
,是唯一滿足
其中一個是1的解。盡管因為
可以是大於6的任意數之故,因此
等同於有無限多解,這些解只對
這三元數給出一組解。
部分結果[編輯]
根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙-關維定理(Darmon–Granville theorem),對於任意特定不等式(2)的三元數組
,等式(1)僅有有限解;[2][3]:p. 64然而完整的費馬-卡塔蘭猜想強於此,而這是因為完整的猜想允許
這三個指數項是任意數之故。
abc猜想可導出費馬-卡塔蘭猜想。[4]
亦可見貝亞爾猜想一文的內容以得知已證實不可能的指數組合;而貝亞爾猜想為真,當且僅當所有的費馬-卡塔蘭猜想都有
、
或
。
參考資料[編輯]
- ^ Pomerance, Carl, Computational Number Theory, Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 .
- ^ Darmon, H.; Granville, A. On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. Bulletin of the London Mathematical Society. 1995, 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513.
- ^ Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-10).
- ^ Waldschmidt, Michel. Lecture on the
conjecture and some of its consequences. Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10]. MR 3298238. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-03).
外部連結[編輯]