在数论上,费马-卡塔兰猜想是费马大定理与卡塔兰猜想的推广,而这猜想认为,以下的等式
![{\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dcbe41acc8ecb96d7844850b9d1d3da83b304d) | | (1) |
仅有有限多个
彼此互质,且
满足下列条件的解:
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43c25cdf9f6f61e2795ce4d9318b903313189da) | | (2) |
这个给出
条件的不等式是猜想的必要成分,而这是因为没有这不等式的话,这结果就会有无限多的解,像例如在
的状况下,
显然有无限多的解;而在
的状况下该等式就是毕达哥拉斯定理,而目前已知有无限多个毕氏三元数存在。
已知解[编辑]
截至2015年为止,等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解,而这些解如下:[1]
(在
的状况下这满足不等式(2))
![{\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1718454167d76583c10140116381338a9692ca9)
![{\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a5dba85b5b3b7fc59c336d88ca34f28f915bf2)
![{\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e4f4d745b2b05d826b6e3bed549da95f41c949)
![{\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7929fcd100798be1a019cddc3f7ac28b6496ac)
![{\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4522462348031553822809ccb98ca8cb3b9cc92)
![{\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af9cd371583f7e885bb82ee5b1d1002bfe6a4f9)
![{\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e0c0a19073ae7748e32876c35d033697e60f79)
![{\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77246507623d0370759a78275493321a50d2300b)
![{\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecac39e31a3eecbd5d6cd5a5b4fcddebb6de71c)
根据在普雷达·米哈伊列斯库于2002年证明的卡塔兰猜想,这些等式中的第一个,也就是
,是唯一满足
其中一个是1的解。尽管因为
可以是大于6的任意数之故,因此
等同于有无限多解,这些解只对
这三元数给出一组解。
部分结果[编辑]
根据利用了法尔廷斯定理的达尔蒙-关维定理(Darmon–Granville theorem),对于任意特定不等式(2)的三元数组
,等式(1)仅有有限解;[2][3]:p. 64然而完整的费马-卡塔兰猜想强于此,而这是因为完整的猜想允许
这三个指数项是任意数之故。
abc猜想可导出费马-卡塔兰猜想。[4]
亦可见贝亚尔猜想一文的内容以得知已证实不可能的指数组合;而贝亚尔猜想为真,当且仅当所有的费马-卡塔兰猜想都有
、
或
。
参考资料[编辑]
- ^ Pomerance, Carl, Computational Number Theory, Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 .
- ^ Darmon, H.; Granville, A. On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. Bulletin of the London Mathematical Society. 1995, 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513.
- ^ Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-10).
- ^ Waldschmidt, Michel. Lecture on the
conjecture and some of its consequences. Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10]. MR 3298238. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. (原始内容存档 (PDF)于2023-12-03).
外部链接[编辑]