在拓撲學中,在拓撲空間中的閉開集(Clopen set)是既是開集又是閉集的集合。
- 在任何拓撲空間X中,空集和整個空間X都是閉開集。
- 有些拓撲空間內有其他開閉集,如離散空間的任意子集都是閉開集。
- 考慮由兩個區間[0,1]和[2,3]的併集構成的空間X。在X上的拓撲是從實直線R上的正常拓撲繼承來的子空間拓撲。在X中,集合[0,1]和[2,3]都是閉開集。這是非常典型的例子:只要空間是由有限數目個不相交連通單元以這種方式構成的,這些單元就是閉開集。
- 不太常見的例子,考慮所有有理數的空間Q帶有它們的正常拓撲,和平方大於2的所有正有理數的集合A。利用不在Q中的事實,可以非常容易的證明A是Q的閉開子集。(還要注意A不是實直線R的閉開子集;它在R中既不是開集也不是閉集。)
- 拓撲空間X是連通的,若且唯若唯一的閉開集是空集和X。
- 集合是閉開集,若且唯若它的邊界是空的。
- 任何閉開集是(可能無限多)連通單元的併集。
- 如果X的所有連通單元是開集(例如,如果X只有有限多個單元,或者X是局部連通的),則集合是X中的閉開集,若且唯若它是連通單元的併集。
- 拓撲空間X是離散的,若且唯若所有它的子集都是閉開集。
- 使用併集和交集作為運算,給定拓撲空間X的閉開子集形成一個布爾代數。「所有」布爾代數都可以按這種方式從適合的拓撲空間獲得:參見Stone布爾代數表示定理。