开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 $n$ 越來越大時數列 $x_{n}$ 跟 $a$ 要多靠近有多靠近的時候，就說 $a$ 是數列 $x_{n}$ 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ $a$ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

定義[编辑]

直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間[编辑]

所謂的 $n$ 維歐式空間，指的是囊括所有实数 n-元組 $(r_{1},\,\dots ,\,r_{n})$ 的集合（記為 $\mathbb {R} ^{n}$ ）。為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 $\mathbb {R} ^{n}$ 中任兩點 $x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})$ 與 $y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})$ 的歐式距離定義為：

d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}

然後定義所謂的（ $n$ 維）開球（open ball）：

B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}

也就是直觀上，一個以 $a$ 為球心， $r$ 為半徑但不包含表面的球體。

這樣就可以作如下的定義：

定義 —
若 $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，且對所有 $p\in O$ ，存在一个 $r>0$ ，使 $B(p,\,r)\subseteq O$ ，那麼就說子集 $O$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一個開集。

也就是直觀上，取開集 $O$ 的任意點 $x$ 都有一個以 $x$ 為球心的開球完全包含於 $O$ 。

賦距空间[编辑]

只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间 $(M,d)$ 中。

以下把 $(M,d)$ 中的開球（open ball）定義成：

B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}

這樣就可以作如下的定義：

定義 —
$U$ 是 $M$ 的子集，且對所有 $p\in U$ ，存在 $\delta >0$ 使 $B(a,\,\delta )\subseteq U$ ，則稱 $U$ 是 $M$ 的一個開集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 $d_{n}$ 和 $\mathbb {R} ^{n}$ 本身就組成了一個賦距空間 $(\mathbb {R} ^{n},d_{n})$ 。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

定理 —
若 $(M,d)$ 為賦距空間，則

(1) $\varnothing$ 和 $M$ 也是 $M$ 的開集。

(2) 若 $A$ 和 $B$ 都是 $M$ 的開集，則 $A\cap B$ 也是 $M$ 的開集。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ （ ${\mathcal {F}}$ 是 $M$ 的一個子集族），若所有 $O\in {\mathcal {F}}$ 都是 $M$ 的開集，則 $\bigcup {\mathcal {F}}$ 也是 $M$ 的開集。（也就是直觀上，任意數量開集的聯集也是開集）

證明
(1) 對每個 $p\in M$ 都有 $B(p,\,1)\subseteq M$ ，所以 $M$ 是自己的一個開集；另外對所有 $p\in M$ 都有 $p\notin \varnothing$ （直觀上來說沒有點可以當開球的球心），所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於 $\varnothing$ ，就可以得到 $\varnothing$ 滿足開集的定義（直觀上來說，前提為假的話，不論結論是否為真，「前提=>結論」都是對的）。 $\Box$ (2) 若 $p\in A\cap B$ ，依據假設存在 $\delta _{A},\,\delta _{B}>0$ 使得 $B(p,\,\delta _{A})\subseteq A$ 且 $B(p,\,\delta _{B})\subseteq B$ ，這樣取 $\delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\}$ 的話，就有 $B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B$ ，是故 $A\cap B$ 也是 $M$ 的開集。 $\Box$ (3) 若 $p\in \bigcup {\mathcal {F}}$ ，依照聯集的性質，存在 $O\in {\mathcal {F}}$ 使得 $p\in O$ ；但根據假設， $O\in {\mathcal {F}}$ 都是 $M$ 的開集，換句話說，存在 $\delta >0$ 使 $B(p,\,\delta )\subseteq O$ ，那因為 $O\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$ ，所以有 $B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$ ，是故 $\bigcup {\mathcal {F}}$ 也是 $M$ 的開集。 $\Box$

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間[编辑]

開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 $X$ 出發，再選取 $X$ 的特定的子集族 $\tau$ ，規定 $\tau$ 中的集合就是開集，这樣的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的拓扑：

定義 —
$X$ 為集合，若 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 滿足

(1) $\varnothing ,\,X\in \tau$

(2) 若 $A,B\in \tau$ 則 $A\cap B\in \tau$ 。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq \tau$ ，則 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau$ 。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱 $\tau$ 為 $X$ 上的拓撲，並稱 $(X,\,\tau )$ 為一拓撲空間。任何 $O\in \tau$ 被稱為開集。

根據上一節賦距空間的性質，取 $\tau _{d}$ 為所有 $M$ 的開集所構成的子集族，則 $(M,\,\tau _{d})$ 也是一拓撲空間。

例子[编辑]

度量空间 $(X,d)$ 中，以点 $x\in X$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 为开集，任意的开集 $A$ 包含以 $x\in A$ 为中心，充分小的 $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 。
流形中的开集为子流形。

用处[编辑]

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

注释[编辑]