正規子群
外觀
在抽象代數中,正規子群或不變子群指一類特殊的子群。由正規子群,可以引導出商群的概念。埃瓦里斯特·伽羅瓦是最早認識到正規子群的重要性的人。
沒有非平凡正規子群的群叫做單群;所有的子群都是正規子群的群叫做戴德金群,非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。
定義
[編輯]如果群G的子群N在共軛轉換下不變,N即是一個正規子群;就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g,元素gng−1仍在N中。我們寫為
下列條件等價於子群N在G中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:
- N 在 G 的元素誘導的共軛轉換下不變,即對於G中的所有g,gNg−1 =N。
- N 在 G 的元素誘導的共軛轉換下的象集為自己的子集,即對於G中的所有g,gNg−1 ⊆ N。
- N在G中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
- 對於G中的所有g,gN = Ng。
- N是G的若干共軛類的併集。
- G 中的任何兩個元素,在相乘後是正規子群成員的關係下是可交換的,即 。
- 存在以N為核的G的群同態:。
注意條件(1)邏輯上弱於條件(2),條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此,條件(1)和條件(3)經常用來證明N在G中是正規子群,而條件(2)和(4)用來證明N在G中是正規子群的推論;而這些條件,尤其條件(7),可用於證明一個群不是單群。
陪集和正規子群
[編輯]給定一個群G,以及G的一個子群H,G的一個元素a,集合:
- 稱作H關於a的左陪集。a叫做aH的代表元。
類似地,可以定義H關於a的右陪集:
- 。
可以證明:對於G中的兩個元素a、b,。因此aH和bH只有兩種關係:相等,或交集為空,即或者。
於是群G可以被分解成:
這個分解稱作群G的左陪集分解。類似地有群G的右陪集分解:
進一步地,可以證明由所定義的關係是一個等價關係,集合中的每個等價關係都可確定一個等價類,因此每個是一個等價類。每個中含有的元素個數是相等的。
此外,群G的左陪集分解與群G的右陪集分解間存在同構:
因此H的左陪集個數和右陪集個數是相等的,叫做H對G的指數。
對於一般的H,集合關於子集的積並不是一個群。對於G中的元素a、b,子集的積,但對於,不一定有。群G的正規子群或不變子群H使得關於子集的積是這個群的子群。這時H的左陪集和右陪集是一樣的,統稱陪集。陪集組成的群叫做G關於H的商群,記作。商群的目數等於H對G的指數。
例子
[編輯]- {e}和G自身總是G的正規子群,這兩個正規子群又稱作G的平凡正規子群,而其他所有的正規子群都是非平凡的正規子群。如果G只有平凡正規子群,就叫做簡單純群。
- 群G的中心是G的正規子群。
- 群G的交換子群是G的正規子群。
- 一個阿貝爾群(或交換群)的所有子群都是它的正規子群,因為顯然有gH = Hg。不是阿貝爾群,但全部子群都是正規子群的群叫做哈密爾頓群(Hamiltonian group),階數最小的例子是四元數單位對乘法構成的群。
- 任何有限維歐幾里得空間中,平移群都是歐幾里得群的正規子群。比如說在3維空間中,先旋轉,平移,再作原來旋轉的逆,結果是原來的平移。先做鏡面對稱,平移,再作原來鏡面對稱的逆,還是原來的平移。將平移按長度分類,就得到一個等價類。平移群是各種長度的平移的併集。
性質
[編輯]- 滿同態保持正規子群的性質,逆映射也是一樣。
- 直積保持正規子群的性質。
- G的正規子群的正規子群不一定是G的正規子群,即是說正規子群沒有遞移性。但是,G的正規子群的特徵子群總是G的正規子群。
- G的所有2階的子群都是正規子群。G中每個階為n的子群都包含一個G的正規子群K,它對G的階整除n!。特別地,當p是|G|的最小質因數時,G的所有p階的子群都是正規子群。