在交換代數 中， 深度 是交換環 與模 的一種不變量，它可以由正則序列 定義，或以同調代數 中的Ext函子 刻劃。
設
R
{\displaystyle R}
交換環 ，
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
x
∈
R
{\displaystyle x\in R}
∀
m
∈
M
,
x
m
=
0
⇒
m
=
0
{\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
一組 M-正則序列 是一個
R
{\displaystyle R}
(
x
1
,
…
,
x
d
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})}
1
≤
i
≤
d
{\displaystyle 1\leq i\leq d}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
M
/
(
x
0
,
…
,
x
i
−
1
)
{\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}
x
0
:=
0
{\displaystyle x_{0}:=0}
定理 （Rees）：若
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
局部 諾特環 ，元素皆屬於
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
置換 仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。
假設同上，並固定一個理想
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
I-深度 為元素皆屬於
I
{\displaystyle I}
M
{\displaystyle M}
d
e
p
t
h
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}
法文 文獻中常記作
p
r
o
f
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
d
e
p
t
h
I
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}
d
e
p
t
h
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}
Ext函子 刻劃為使得
E
x
t
n
(
R
/
I
,
M
)
≠
0
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0}
n
{\displaystyle n}
下列等式將深度問題化約到局部環的情形：
d
e
p
t
h
I
(
M
)
=
sup
p
⊃
I
(
M
p
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}
以下定理揭示了深度與射影維度 的關係。
定理 （Auslander-Buchsbaum）：設
A
{\displaystyle A}
諾特環 ，
M
{\displaystyle M}
A
{\displaystyle A}
p
d
A
(
M
)
+
d
e
p
t
h
A
(
M
)
=
d
e
p
t
h
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}
V.I. Danilov, Depth of a module , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry . Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
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