在抽象代數中,多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環
上的多項式環是由係數在
中的多項式構成的環,其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中,當
為交換環時,多項式環可以被刻劃為交換
-代數範疇中的自由對象。
多項式函數與多項式[編輯]
在初等數學與微積分中,多項式視同多項式函數,兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之,考慮有限域
上的多項式
![{\displaystyle P(X)=X^{2}+X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4066f84e54ef72e71ef112bf85072492826fa23f)
此多項式代任何值皆零,故給出零函數,但其形式表法非零。
我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函數觀點,多項式函數在域擴張下的行為頗複雜,上述
給出
上的零函數,但視為
上的多項式函數則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。
形式定義[編輯]
於是我們採取下述定義:令
為環。一個單變元
的多項式
定義為下述形式化的表法:
![{\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40b6a5c2d5ee6c00d2088a4fb90e45d3e08eadc)
其中
屬於
,稱作
的係數,而
視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個
的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數,或者首項係數。
更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列
,使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元
及其冪次表達。
多項式的運算[編輯]
以下固定環
,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。
環結構[編輯]
多項式的加法由係數逐項相加定義,而乘法則由下列法則唯一地確定:
- 分配律:對所有
上的多項式
,恆有
![{\displaystyle (P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf33631ab65ed326c0f869f66f23c50bc6e2b0eb)
![{\displaystyle R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54176f9c3fb8b7a5237fd1bcd1355ef8396cee7b)
- 對所有
,有 ![{\displaystyle X\,a=a\,X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad3b9ce3c7975851edcdef61cdcda2e61e191e5)
- 對所有非負整數
,有 ![{\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bee4a3ac70163e0dc9629363e421208a3c1db6)
運算的具體表法如下:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc197716f04238d21ab5dcd2de869f4c0c1f5e15)
![{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7903d70e25011614c8c21379b08735372fe832a9)
當
是交換環時,
是個
上的代數。
多項式的合成[編輯]
設
而
為另一多項式,則可定義兩者的合成為
![{\displaystyle (P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df35511c85feeefc72844d540e09121218b0967c)
對於任一多項式
及
,我們可考慮
對
的求值:
![{\displaystyle s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708d98337ca54a11a95739f1b9caeb9e50cf00c4)
固定
,則得到一個環同態
,稱作求值同態;此外它還滿足
![{\displaystyle s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7919b3bab5739a3dc8fe6d4b81550a875ffe7a)
在微積分中,多項式的微分由微分法則
確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:
![{\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b4e96d85e444c924068d7461d4c368940b8090)
![{\displaystyle \Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227895b0a2b6ce4e042c057622f2f2be9efd546d)
這種導數依然滿足
與
等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。
多變元的情形[編輯]
上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環
,也可以採下述構造:
先考慮兩個變元
的例子,我們可以先構造多項式環
,其次構造
。可以證明有自然同構
,例如多項式
![{\displaystyle P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf31597ec146240769b189e3ad40e09843adc9d)
也可以視作
![{\displaystyle (X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b729c72ee347d3aa4b746a036a81ba1ae8488a99)
對
亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。
- 若 R 是域,則
是主理想環(事實上還是個歐幾里得整環)。
- 若 R 是唯一分解環,則
亦然。
- 若 R 是整環,則
亦然。
- 若 R 是諾特環,則
亦然;這是希爾伯特基底定理的內容。
- 任一個交換環
上的有限生成代數皆可表成某個
的商環。
在數學中的角色[編輯]
多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系
構造有限域,或從實數構造複數等等。
弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。