K类函数

${\mathcal {K}}$ 类函数（Class kappa function）也称为是在控制理论中判断非自治系统（nonautonomous system）是否稳定时会用到的一类函数，会将其他函数和 ${\mathcal {K}}$ 类函数比较，以确认系统的稳定性。

连续函数 $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ 若满足以下条件，则属于 ${\mathcal {K}}$ 类函数：

函数严格递增。
函数满足 $\alpha (0)=0$ 。

连续函数 $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ 若满足以下条件，则属于 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 类函数：

函数属于 ${\mathcal {K}}$ 类函数。
函数的定义域范围可以到无限大， $a=\infty$ .
函数满足 $\lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty$ .

若一非递减的正定函数 $\beta$ 满足所有 ${\mathcal {K}}$ 类（或 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 类）函数的条件，只有严格递增条件不满足，可以用以下的方式让此函数的上下界用 ${\mathcal {K}}$ 类（或 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 类）函数来表示：

\beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,

${\mathcal {KL}}$ 类函数[编辑]

连续函数 $\beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ 若满足以下条件，则属于 ${\mathcal {KL}}$ 类函数：

对于每一个固定的 $s$ ，函数 $\beta (r,s)$ 属于 ${\mathcal {K}}$ 类函数
对于每一个固定的 $r$ ，函数 $\beta (r,s)$ 会随着 $s$ 递减，而且当 $s\rightarrow \infty$ 时， $\beta (r,s)\rightarrow 0$ 。