K類函數

${\mathcal {K}}$ 類函數（Class kappa function）也稱為是在控制理論中判斷非自治系統（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和 ${\mathcal {K}}$ 類函數比較，以確認系統的穩定性。

連續函數 $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ 若滿足以下條件，則屬於 ${\mathcal {K}}$ 類函數：

函數嚴格遞增。
函數滿足 $\alpha (0)=0$ 。

連續函數 $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ 若滿足以下條件，則屬於 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 類函數：

函數屬於 ${\mathcal {K}}$ 類函數。
函數的定義域範圍可以到無限大， $a=\infty$ .
函數滿足 $\lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty$ .

若一非遞減的正定函數 $\beta$ 滿足所有 ${\mathcal {K}}$ 類（或 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用 ${\mathcal {K}}$ 類（或 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 類）函數來表示：

\beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,

${\mathcal {KL}}$ 類函數[编辑]

連續函數 $\beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ 若滿足以下條件，則屬於 ${\mathcal {KL}}$ 類函數：

對於每一個固定的 $s$ ，函數 $\beta (r,s)$ 屬於 ${\mathcal {K}}$ 類函數
對於每一個固定的 $r$ ，函數 $\beta (r,s)$ 會隨著 $s$ 遞減，而且當 $s\rightarrow \infty$ 時， $\beta (r,s)\rightarrow 0$ 。