在抽象代数中,合成列是借着将代数对象(如群、模等等)拆解为简单的成分,以萃取不变量的方式之一。以模为例,一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次,考虑一组过滤
,使每个子商
皆为单模;这些单模称为合成因子,
称为合成长度,都是
的不变量。亦可考虑
的子模范畴
,此时
可唯一表为合成因子之和;在此意义下,K-群提供了模的半单化。
合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言:若一对象有合成列,则子商的同构类是唯一确定的,至多差一个置换。因此,合成列给出有限群或阿廷模的不变量。
群的情形[编辑]
设
为群,
的合成列是对应于一族子群
![{\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da89046d30f157bef5ee03ba1d90fb2bb026450)
满足
,使其子商
皆为非平凡的单群;易言之,
是
的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群,恒存在合成列。
模的情形[编辑]
固定环
及
-模
。
的合成列是一族子模
![{\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b02911683a7a7db46ccaaaa6c78f656fe103120)
其中每个子商
皆为非平凡的单模 。易言之,
是
的极大子模。这些子商也称为合成因子。若
是阿廷环,根据 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成的
-模皆有合成列。
例子. 考虑 12 阶循环群
,它具有三个相异的合成列
,
,
![{\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5b2620a8cdf404f273c3b7f11f3331d97d373a)
合成因子分别为
![{\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13d61d7e8df4a4f2aa7b4221714683758cabcff)
![{\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ef5505aec08830e87ccba41f8ab8addbcdea5c)
![{\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f49f9f223d1814173eb23edc36edb7653f5cc5)
其间仅差个置换。
若尔当-赫尔德定理[编辑]
- 定理. 若群
〔或
-模
〕有合成列,则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关,其间至多差一个置换。
略证:以下仅处理模的情形,群的情形可依此类推。假设存在两个合成列
![{\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc223762075b787cadfcf20ac4d41f6e7b780b7)
![{\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7d1f1e2dee41d644cd352449ebdbac5ca93553)
对
行数学归纳法。若
则
,若
则
是单模。以下假定
。
若
,据归纳法假设,
且
与
(
)之间仅差置换。此外
,故定理成立。
设
。此时必有
。置
,于是
![{\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fbbf4e6e034d3fbda62733cad83b1d2ff9cde0)
![{\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31d45fce7429a359d0c83c397c6bc178e6ea3fc)
取
的合成列
,依上式知
![{\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eea3d315d7219f1b79088c189b056ce1970661e)
![{\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde3fdadbb0a9d9b96be295c32977e019bf77f33)
皆为合成列,其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设,若同删去尾项
,则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列
的合成因子,至多差个置换。是故定理得证。
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