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詹森多面體列表

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詹森多面體是指的所有都是正多邊形頂點並非均勻的嚴格凸多面體。 即不是柏拉图立体、不是阿基米德立體、不是半正多面體、不是棱柱也不是反棱柱嚴格凸正多邊形多面體。 1966年,諾曼·詹森英语Norman Johnson (mathematician)發表了一份包含92種有以上性質的多面體列表,並給出了名稱和編號,但他並未證明這種立體僅有92個,但猜想沒有其他的這種立體。[1] 1969年,維克多·扎加勒(Victor Zalgaller)證明了詹森多面體僅有92個,也就是諾曼·詹森給出的多面體列表是完整的。[2]

另外,也可能構造出具有近似於正多邊形面的凸多面體;或可以構造所有面都是正多邊形但不要求嚴格凸的凸多面體。這些多面體被非正式地稱為擬詹森多面體;它們的數量無法被確定,後者則有無窮多種。但後者如果加上一個「條件邊」的條件,則可以確定其數量為78個,稱為條件邊正多邊形凸多面體[3]。詳細的這些立體可以參見條件邊正多邊形凸多面體列表[4]

下表列出了92種詹森多面體的各項重要性質與數值。每個表都允許按特定欄位的內容來做排序,以便依據特定屬性或性質或詹森多面體的名稱來進行排序。

列表

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下表列出詹森多面體的名稱與展開圖

Jn 名稱 英語名稱 展開圖 圖像
1 正四角錐 Square pyramid
2 正五角錐 Pentagonal pyramid
3 正三角帳塔 Triangular cupola
4 正四角帳塔 Square cupola
5 正五角帳塔 Pentagonal cupola
6 正五角罩帳 Pentagonal rotunda
7 正三角錐柱 Elongated triangular pyramid
8 正四角錐柱 Elongated square pyramid
9 正五角錐柱 Elongated pentagonal pyramid
10 四角錐反角柱 Gyroelongated square pyramid
11 五角錐反角柱 Gyroelongated pentagonal pyramid
12 雙三角錐 Triangular bipyramid
13 雙五角錐 Pentagonal bipyramid
14 雙三角錐柱 Elongated triangular bipyramid
15 雙四角錐柱 Elongated square bipyramid
16 雙五角錐柱 Elongated pentagonal bipyramid
17 雙四角錐反角柱 Gyroelongated square bipyramid
18 三角帳塔柱 Elongated triangular cupola
19 四角帳塔柱 Elongated square cupola
20 五角帳塔柱 Elongated pentagonal cupola
21 正五角罩帳柱 Elongated pentagonal rotunda
22 正三角帳塔反角柱 Gyroelongated triangular cupola
23 正四角帳塔反角柱 Gyroelongated square cupola
24 正五角台塔反角柱 Gyroelongated pentagonal cupola
25 正五角罩帳反角柱 Gyroelongated pentagonal rotunda
26 異相雙三角柱 Gyrobifastigium
27 同相雙三角台塔 Triangular orthobicupola
28 同相雙四角台塔 Square orthobicupola
29 異相雙四角台塔 Square gyrobicupola
30 同相雙五角台塔 Pentagonal orthobicupola
31 異相雙五角台塔 Pentagonal gyrobicupola
32 同相五角台塔丸塔 Pentagonal orthocupolarotunda
33 異相五角台塔丸塔 Pentagonal gyrocupolarotunda
34 同相雙五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda Pentagonal orthobirotunda
35 同相雙三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola Elongated triangular orthobicupola
36 異相雙三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola Elongated triangular gyrobicupola
37 異相雙四角台塔柱 Elongated square gyrobicupola
38 同相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola Elongated pentagonal orthobicupola
39 異相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola Elongated pentagonal gyrobicupola
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda Elongated pentagonal orthocupolarotunda
41 異相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda Elongated pentagonal gyrocupolarotunda
42 同相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda Elongated pentagonal orthobirotunda
43 異相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda Elongated pentagonal gyrobirotunda
44 雙三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola Gyroelongated triangular bicupola
45 雙四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola Gyroelongated square bicupola
46 雙五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola Gyroelongated pentagonal bicupola
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda Gyroelongated pentagonal cupolarotunda
48 雙五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda Gyroelongated pentagonal birotunda
49 側錐三角柱 Augmented triangular prism
50 二側錐三角柱 Biaugmented triangular prism
51 三側錐三角柱 Triaugmented triangular prism
52 側錐五角柱 Augmented pentagonal prism
53 間二側錐五角柱 Biaugmented pentagonal prism
54 側錐六角柱 Augmented hexagonal prism
55 對二側錐六角柱 Parabiaugmented hexagonal prism
56 間二側錐六角柱 Metabiaugmented hexagonal prism
57 三側錐六角柱 Triaugmented hexagonal prism
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron Augmented dodecahedron
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron Parabiaugmented dodecahedron
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron Metabiaugmented dodecahedron
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron Triaugmented dodecahedron
62 正二十面體欠鄰二側錐英语Metabidiminished icosahedron Metabidiminished icosahedron
63 正二十面體欠三側錐英语Tridiminished icosahedron Tridiminished icosahedron
64 側錐正二十面體欠三側錐英语Augmented tridiminished icosahedron Augmented tridiminished icosahedron
65 側台塔截角四面體 Augmented truncated tetrahedron
66 側台塔截角立方體 Augmented truncated cube
67 對二側帳塔截角立方體 Biaugmented truncated cube
68 側台塔截角十二面體英语Augmented truncated dodecahedron Augmented truncated dodecahedron
69 對二側台塔截角十二面體英语Parabiaugmented truncated dodecahedron Parabiaugmented truncated dodecahedron
70 間二側台塔截角十二面體英语Metabiaugmented truncated dodecahedron Metabiaugmented truncated dodecahedron
71 三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedron Triaugmented truncated dodecahedron
72 單旋側帳塔小斜方截半二十面體英语Gyrate rhombicosidodecahedron Gyrate rhombicosidodecahedron
73 對二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron Parabigyrate rhombicosidodecahedron
74 鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron Metabigyrate rhombicosidodecahedron
75 三旋側台塔小斜方截半二十面體英语Trigyrate rhombicosidodecahedron Trigyrate rhombicosidodecahedron
76 小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron Diminished rhombicosidodecahedron
77 對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
78 鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
79 二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
80 小斜方截半二十面體欠對二側帳塔 Parabidiminished rhombicosidodecahedron
81 小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron Metabidiminished rhombicosidodecahedron
82 單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔 Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron
83 小斜方截半二十面體欠三側台塔 Tridiminished rhombicosidodecahedron
84 扭稜鍥形體 Snub disphenoid
85 扭稜四角反角柱 Snub square antiprism
86 球狀屋頂 Sphenocorona
87 側錐球狀屋頂 Augmented sphenocorona
88 加長型球狀屋頂 Sphenomegacorona
89 廣底加長型球狀屋頂 Hebesphenomegacorona
90 五角錐球狀屋頂 Disphenocingulum
91 雙新月雙罩帳 Bilunabirotunda
92 三角廣底球狀罩帳 Triangular hebesphenorotunda

說明:

頂點、邊、面和對稱性

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下表列出詹森多面體的頂點數、邊數和面數,以及特定形狀的面數。同時也列出了其對稱性:

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 對稱群英语List of spherical symmetry groups 階數英语Symmetry number
1 正四角錐 5 8 5 4 1 C4v, [4], (*44) 8
2 正五角錐 6 10 6 5 1 C5v, [5], (*55) 10
3 正三角帳塔 9 15 8 4 3 1 C3v, [3], (*33) 6
4 正四角帳塔 12 20 10 4 5 1 C4v, [4], (*44) 8
5 正五角帳塔 15 25 12 5 5 1 1 C5v, [5], (*55) 10
6 正五角罩帳 20 35 17 10 6 1 C5v, [5], (*55) 10
7 正三角錐柱 7 12 7 4 3 C3v, [3], (*33) 6
8 正四角錐柱 9 16 9 4 5 C4v, [4], (*44) 8
9 正五角錐柱 11 20 11 5 5 1 C5v, [5], (*55) 10
10 四角錐反角柱 9 20 13 12 1 C4v, [4], (*44) 8
11 五角錐反角柱 11 25 16 15 1 C5v, [5], (*55) 10
12 雙三角錐 5 9 6 6 D3h, [3,2], (*223) 12
13 雙五角錐 7 15 10 10 D5h, [5,2], (*225) 20
14 雙三角錐柱 8 15 9 6 3 D3h, [3,2], (*223) 12
15 雙四角錐柱 10 20 12 8 4 D4h, [4,2], (*224) 16
16 雙五角錐柱 12 25 15 10 5 D5h, [5,2], (*225) 20
17 雙四角錐反角柱 10 24 16 16 D4d, [2+,8], (2*4) 16
18 三角帳塔柱 15 27 14 4 9 1 C3v, [3], (*33) 6
19 四角帳塔柱 20 36 18 4 13 1 C4v, [4], (*44) 8
20 五角帳塔柱 25 45 22 5 15 1 1 C5v, [5], (*55) 10
21 正五角罩帳柱 30 55 27 10 10 6 1 C5v, [5], (*55) 10
22 正三角帳塔反角柱 15 33 20 16 3 1 C3v, [3], (*33) 6
23 正四角帳塔反角柱 20 44 26 20 5 1 C4v, [4], (*44) 8
24 正五角台塔反角柱 25 55 32 25 5 1 1 C5v, [5], (*55) 10
25 正五角罩帳反角柱 30 65 37 30 6 1 C5v, [5], (*55) 10
26 異相雙三角柱 8 14 8 4 4 D2d, [2+,4], (2*2) 8
27 同相雙三角台塔 12 24 14 8 6 D3h, [3,2], (*223) 12
28 同相雙四角台塔 16 32 18 8 10 D4h, [4,2], (*224) 16
29 異相雙四角台塔 16 32 18 8 10 D4d, [2+,8], (2*4) 16
30 同相雙五角台塔 20 40 22 10 10 2 D5h, [5,2], (*225) 20
31 異相雙五角台塔 20 40 22 10 10 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
32 同相五角台塔丸塔 25 50 27 15 5 7 C5v, [5], (*55) 10
33 異相五角台塔丸塔 25 50 27 15 5 7 C5v, [5], (*55) 10
34 同相雙五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda 30 60 32 20 12 D5h, [5,2], (*225) 20
35 同相雙三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola 18 36 20 8 12 D3h, [3,2], (*223) 12
36 異相雙三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola 18 36 20 8 12 D3d, [2+,6], (2*3) 12
37 異相雙四角台塔柱 24 48 26 8 18 D4d, [2+,8], (2*4) 16
38 同相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola 30 60 32 10 20 2 D5h, [5,2], (*225) 20
39 異相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola 30 60 32 10 20 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda 35 70 37 15 15 7 C5v, [5], (*55) 10
41 異相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda 35 70 37 15 15 7 C5v, [5], (*55) 10
42 同相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda 40 80 42 20 10 12 D5h, [5,2], (*225) 20
43 異相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda 40 80 42 20 10 12 D5d, [2+,10], (2*5) 20
44 雙三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola 18 42 26 20 6 D3, [3,2]+,(223) 6
45 雙四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola 24 56 34 24 10 D4, [4,2]+, (224) 8
46 雙五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola 30 70 42 30 10 2 D5, [5,2]+, (225) 10
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda 35 80 47 35 5 7 C5, [5]+, (55) 5
48 雙五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda 40 90 52 40 12 D5, [5,2]+, (225) 10
49 側錐三角柱 7 13 8 6 2 C2v, [2], (*22) 4
50 二側錐三角柱 8 17 11 10 1 C2v, [2], (*22) 4
51 三側錐三角柱 9 21 14 14 D3h, [3,2], (*223) 12
52 側錐五角柱 11 19 10 4 4 2 C2v, [2], (*22) 4
53 間二側錐五角柱 12 23 13 8 3 2 C2v, [2], (*22) 4
54 側錐六角柱 13 22 11 4 5 2 C2v, [2], (*22) 4
55 對二側錐六角柱 14 26 14 8 4 2 D2h, [2,2], (*222) 8
56 間二側錐六角柱 14 26 14 8 4 2 C2v, [2], (*22) 4
57 三側錐六角柱 15 30 17 12 3 2 D3h, [3,2], (*223) 12
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron 21 35 16 5 11 C5v, [5], (*55) 10
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron 22 40 20 10 10 D5d, [2+,10], (2*5) 20
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron 22 40 20 10 10 C2v, [2], (*22) 4
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 23 45 24 15 9 C3v, [3], (*33) 6
62 正二十面體欠鄰二側錐英语Metabidiminished icosahedron 10 20 12 10 2 C2v, [2], (*22) 4
63 正二十面體欠三側錐英语Tridiminished icosahedron 9 15 8 5 3 C3v, [3], (*33) 6
64 側錐正二十面體欠三側錐英语Augmented tridiminished icosahedron 10 18 10 7 3 C3v, [3], (*33) 6
65 側台塔截角四面體 15 27 14 8 3 3 C3v, [3], (*33) 6
66 側台塔截角立方體 28 48 22 12 5 5 C4v, [4], (*44) 8
67 對二側帳塔截角立方體 32 60 30 16 10 4 D4h, [4,2], (*224) 16
68 側台塔截角十二面體英语Augmented truncated dodecahedron 65 105 42 25 5 1 11 C5v, [5], (*55) 10
69 對二側台塔截角十二面體英语Parabiaugmented truncated dodecahedron 70 120 52 30 10 2 10 D5d, [2+,10], (2*5) 20
70 間二側台塔截角十二面體英语Metabiaugmented truncated dodecahedron 70 120 52 30 10 2 10 C2v, [2], (*22) 4
71 三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedron 75 135 62 35 15 3 9 C3v, [3], (*33) 6
72 單旋側帳塔小斜方截半二十面體英语Gyrate rhombicosidodecahedron 60 120 62 20 30 12 C5v, [5], (*55) 10
73 對二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron 60 120 62 20 30 12 D5d, [2+,10], (2*5) 20
74 鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron 60 120 62 20 30 12 C2v, [2], (*22) 4
75 三旋側台塔小斜方截半二十面體英语Trigyrate rhombicosidodecahedron 60 120 62 20 30 12 C3v, [3], (*33) 6
76 小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron 55 105 52 15 25 11 1 C5v, [5], (*55) 10
77 對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron 55 105 52 15 25 11 1 C5v, [5], (*55) 10
78 鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron 55 105 52 15 25 11 1 Cs, [ ], (*11) 2
79 二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron 55 105 52 15 25 11 1 Cs, [ ], (*11) 2
80 小斜方截半二十面體欠對二側帳塔 50 90 42 10 20 10 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
81 小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron 50 90 42 10 20 10 2 C2v, [2], (*22) 4
82 單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔 50 90 42 10 20 10 2 Cs, [ ], (*11) 2
83 小斜方截半二十面體欠三側台塔 45 75 32 5 15 9 3 C3v, [3], (*33) 6
84 扭稜鍥形體 8 18 12 12 D2d, [2+,4], (2*2) 8
85 扭稜四角反角柱 16 40 26 24 2 D4d, [2+,8], (2*4) 16
86 球狀屋頂 10 22 14 12 2 C2v, [2], (*22) 4
87 側錐球狀屋頂 11 26 17 16 1 Cs, [ ], (*11) 2
88 加長型球狀屋頂 12 28 18 16 2 C2v, [2], (*22) 4
89 廣底加長型球狀屋頂 14 33 21 18 3 C2v, [2], (*22) 4
90 五角錐球狀屋頂 16 38 24 20 4 D2d, [2+,4], (2*2) 8
91 雙新月雙罩帳 14 26 14 8 2 4 D2h, [2,2], (*222) 8
92 三角廣底球狀罩帳 18 36 20 13 3 3 1 C3v, [3], (*33) 6

說明:

  • Jn – 詹森多面體編號
  • V – 頂點的數量
  • E – 的數量
  • F – (所有的面)的數量
  • Fn – 僅n邊形的數量
  • F3~F10 – F3:面為三角形的面的數量、F4:面為正方形的面的數量……以此類推

其中,正四角錐J1)有最少的頂點(5個)、最少的邊(8條)和最少的面(5個)。

三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71具有最多的頂點(75個)和最多的邊(135條)。 它的面數也是最多的(62個),其他還有單旋側帳塔小斜方截半二十面體英语Gyrate rhombicosidodecahedronJ72對二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Parabigyrate rhombicosidodecahedronJ73鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Metabigyrate rhombicosidodecahedronJ74三旋側台塔小斜方截半二十面體英语Trigyrate rhombicosidodecahedronJ75

表面積

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由於詹森多面體的所有面都是由正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形或正十邊形所組成,代表著其面的邊數僅會有3、4、5、6、8或10條,且為正多邊形,因此這些正多邊形面都會具有相同的邊長a,因此詹森多面體的表面積A可由下式計算得到:

其中 Fn是上表中的多邊形面數,且正n邊形的面積An也可由下式計算得到:

在詹森多面體的例子中,組成其的正多邊形僅有正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形或正十邊形,而我們有正三角形的面積A3、正方形的面積A4、正五邊形的面積A5、正六邊形的面積A6、正八邊形A8的面積和正十邊形A10的面積公式:

因此可以得出下表的詹森多面體表面積。

Jn 多面體名稱 A/a2 (近似值) A/a2 (精確值)
1 正四角錐 2.732050808
2 正五角錐 3.885540910
3 正三角帳塔 7.330127019
4 正四角帳塔 11.560477932
5 正五角帳塔 16.579749753
6 正五角罩帳 22.347200265
7 正三角錐柱 4.732050808
8 正四角錐柱 6.732050808
9 正五角錐柱 8.885540910
10 正四角錐反角柱 6.196152423
11 正五角錐反角柱 8.215667929
12 雙三角錐 2.598076211
13 雙五角錐 4.330127019
14 雙三角錐柱 5.598076211
15 雙四角錐柱 7.464101615
16 雙五角錐柱 9.330127019
17 雙四角錐反角柱 6.928203230
18 三角帳塔柱 13.330127019
19 四角帳塔柱 19.560477932
20 五角帳塔柱 26.579749753
21 正五角罩帳柱 32.347200265
22 正三角帳塔反角柱 12.526279442
23 正四角帳塔反角柱 18.488681163
24 正五角台塔反角柱 25.240003791
25 正五角罩帳反角柱 31.007454303
26 異相雙三角柱 5.732050808
27 同相雙三角台塔 9.464101615
28 同相雙四角台塔 13.464101615
29 異相雙四角台塔 13.464101615
30 同相雙五角台塔 17.771081820
31 異相雙五角台塔 17.771081820
32 同相五角台塔丸塔 23.538532333
33 異相五角台塔丸塔 23.538532333
34 同相雙五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda 29.305982845
35 同相雙三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola 15.464101615
36 異相雙三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola 15.464101615
37 異相雙四角台塔柱 21.464101615
38 同相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola 27.771081820
39 異相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola 27.771081820
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda 33.538532333
41 異相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda 33.538532333
42 同相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda 39.305982845
43 異相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda 39.305982845
44 雙三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola 14.660254038
45 雙四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola 20.392304845
46 雙五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola 26.431335858
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda 32.198786370
48 雙五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda 37.966236883
49 側錐三角柱 4.598076211
50 二側錐三角柱 5.330127019
51 三側錐三角柱 6.062177826
52 側錐五角柱 9.173005609
53 間二側錐五角柱 9.905056416
54 側錐六角柱 11.928203230
55 對二側錐六角柱 12.660254038
56 間二側錐六角柱 12.660254038
57 三側錐六角柱 13.392304845
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron 21.090314916
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron 21.534901025
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron 21.534901025
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 21.979487134
62 正二十面體欠鄰二側錐英语Metabidiminished icosahedron 7.771081820
63 正二十面體欠三側錐英语Tridiminished icosahedron 7.326495711
64 側錐正二十面體欠三側錐英语Augmented tridiminished icosahedron 8.192521115
65 側台塔截角四面體 14.258330249
66 側台塔截角立方體 34.338288046
67 對二側帳塔截角立方體 36.241911729
68 側台塔截角十二面體英语Augmented truncated dodecahedron 102.182092220
69 對二側台塔截角十二面體英语Parabiaugmented truncated dodecahedron 103.373424287
70 間二側台塔截角十二面體英语Metabiaugmented truncated dodecahedron 103.373424287
71 三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedron 104.564756354
72 單旋側帳塔小斜方截半二十面體英语Gyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845
73 對二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845
74 鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845
75 三旋側台塔小斜方截半二十面體英语Trigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845
76 小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778
77 對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778
78 鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778
79 二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778
80 小斜方截半二十面體欠對二側帳塔 56.923318711
81 小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron 56.923318711
82 單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔 56.923318711
83 小斜方截半二十面體欠三側台塔 55.731986644
84 扭稜鍥形體 5.196152423
85 扭稜四角反角柱 12.392304845
86 球狀屋頂 7.196152423
87 側錐球狀屋頂 7.928203230
88 加長型球狀屋頂 8.928203230
89 廣底加長型球狀屋頂 10.794228634
90 五角錐球狀屋頂 12.660254038
91 雙新月雙罩帳 12.346011217
92 三角廣底球狀罩帳 16.388673538

在固定邊長的條件下,雙三角錐J12表面積最小,而三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71的表面積最大,兩者相差40倍以上。

體積

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下表列出了詹森多面體的體積。在這個表格中,V代表體積(不是第一個表中的頂點數),而a代表邊長。

表格的資料來源是沃尔夫勒姆研究公司Mathematica軟體中提供的PolyhedronData[..., "Volume"]計算多面體體積的指令。

詹森多面體的體積也可以根據其頂點座標來計算出來。如果邊長是固定的,那麼所有92個詹森多面體的頂點座標就都是已知的。如此一來,就可以用此資訊來計算體積。概念上最簡單的作法是:對要算體積的詹森多面體之表面做三角化,例如在每個非三角形面的中心添加一個額外的點,然後將之與該面的其他頂點連接構成多個三角形(並不是所有凸多面體都可以不添加額外頂點就完成三角剖分英语Triangulation (geometry)[5])。完成表面的三角化後選擇一些內部點作為“原點”,這樣就可以把表面的三角形與內部所選的點構造成不規則四面體。這些不規則四面體在多面體內部有一個頂點、在多面體表面有3個頂點,而詹森多面體的體積就是這些不規則四面體的體積總和。不規則四面體的體積可以透過公式計算。

Jn 多面體名稱 V/a3(近似值) V/a3(精確值)
1 正四角錐 0.235702260
2 正五角錐 0.301502832
3 正三角帳塔 1.178511302
4 正四角帳塔 1.942809042
5 正五角帳塔 2.324045318
6 正五角罩帳 6.917762968
7 正三角錐柱 0.550863832
8 正四角錐柱 1.235702260
9 正五角錐柱 2.021980233
10 正四角錐反角柱 1.192702242
11 正五角錐反角柱 1.880192158
12 雙三角錐 0.235702260
13 雙五角錐 0.603005665
14 雙三角錐柱 0.668714962
15 雙四角錐柱 1.471404521
16 雙五角錐柱 2.323483065
17 雙四角錐反角柱 1.428404503
18 三角帳塔柱 3.776587513
19 四角帳塔柱 6.771236166
20 五角帳塔柱 10.018254161
21 正五角罩帳柱 14.611971811
22 正三角帳塔反角柱 3.516053091
23 正四角帳塔反角柱 6.210765792 8次方程的根
24 正五角台塔反角柱 9.073333194 8次方程的根
25 正五角罩帳反角柱 13.667050844 8次方程的根
26 異相雙三角柱 0.866025404
27 同相雙三角台塔 2.357022604
28 同相雙四角台塔 3.885618083
29 異相雙四角台塔 3.885618083
30 同相雙五角台塔 4.648090637
31 異相雙五角台塔 4.648090637
32 同相五角台塔丸塔 9.241808286
33 異相五角台塔丸塔 9.241808286
34 同相雙五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda 13.835525936
35 同相雙三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola 4.955098815
36 異相雙三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola 4.955098815
37 異相雙四角台塔柱 8.714045208
38 同相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola 12.342299480
39 異相雙五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola 12.342299480
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda 16.936017129
41 異相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda 16.936017129
42 同相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda 21.529734779
43 異相五角雙丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda 21.529734779
44 雙三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola 4.694564393
45 雙四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola 8.153574834 8次方程的根
46 雙五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola 11.397378512 8次方程的根
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda 15.991096162 8次方程的根
48 雙五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda 20.584813812 8次方程的根
49 側錐三角柱 0.668714962
50 二側錐三角柱 0.904417223
51 三側錐三角柱 1.140119483
52 側錐五角柱 1.956179661
53 間二側錐五角柱 2.191881921
54 側錐六角柱 2.833778472
55 對二側錐六角柱 3.069480732
56 間二側錐六角柱 3.069480732
57 三側錐六角柱 3.305182993
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron 7.964621793
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron 8.266124625
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron 8.266124625
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 8.567627458
62 正二十面體欠鄰二側錐英语Metabidiminished icosahedron 1.578689326
63 正二十面體欠三側錐英语Tridiminished icosahedron 1.277186493
64 側錐正二十面體欠三側錐英语Augmented tridiminished icosahedron 1.395037624
65 側台塔截角四面體 3.889087297
66 側台塔截角立方體 15.542472333
67 對二側帳塔截角立方體 17.485281374
68 側台塔截角十二面體英语Augmented truncated dodecahedron 87.363709878
69 對二側台塔截角十二面體英语Parabiaugmented truncated dodecahedron 89.687755196
70 間二側台塔截角十二面體英语Metabiaugmented truncated dodecahedron 89.687755196
71 三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedron 92.011800514
72 單旋側帳塔小斜方截半二十面體英语Gyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782
73 對二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782
74 鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782
75 三旋側台塔小斜方截半二十面體英语Trigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782
76 小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464
77 對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464
78 鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464
79 二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464
80 小斜方截半二十面體欠對二側帳塔 36.967233146
81 小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron 36.967233146
82 單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔 36.967233146
83 小斜方截半二十面體欠三側台塔 34.643187827
84 扭稜鍥形體 0.859493646 6次方程的根
85 扭稜四角反角柱 3.601222010 12次方程的根
86 球狀屋頂 1.515351640
87 側錐球狀屋頂 1.751053900 16次方程的根
88 加長型球狀屋頂 1.948108229 32次方程的根
89 廣底加長型球狀屋頂 2.912910415 20次方程的根
90 五角錐球狀屋頂 3.777645342 24次方程的根
91 雙新月雙罩帳 3.093717650
92 三角廣底球狀罩帳 5.108745974

在固定邊長的條件下,正四角錐J1雙三角錐J12的體積最小;而三側台塔截角十二面體英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71的體積最大,比前者大超過390倍。

在92種詹森多面體中,有13種詹森多面體的體積V/a3無法表達為解析數。這些數值是以下多項式的最大實根。

Jn 多項式
23

6561 x8 − 52488 x7 + 113724 x6 − 9720 x5
− 1616922 x4 + 396360 x3 + 1537020 x2 − 178632 x − 3391

24

1679616 x8 − 11197440 x7 + 27060480 x6 + 35769600 x5
− 4456749600 x4 − 10714248000 x3 + 3828402000 x2 + 13859430000 x + 5340175625

25

1679616 x8 − 50388480 x7 + 603262080 x6 − 3520972800 x5
+ 5215460400 x4 + 4128624000 x3 − 8894943000 x2 + 3881385000 x − 424924375

45

6561 x8 − 104976 x7 + 594864 x6 − 1384128 x5
− 552096 x4 + 1569024 x3 + 246528 x2 − 119808 x + 4352

46

6561 x8 − 87480 x7 + 313470 x6 + 753300 x5
− 22424850 x4 − 84591000 x3 − 85909500 x2 + 8715000 x + 35547500

47

1679616 x8 − 61585920 x7 + 851472000 x6 − 5108832000 x5
+ 4745790000 x4 + 21346200000 x3 − 29019375000 x2 − 4576875000 x − 405859375

48

6561 x8 − 393660 x7 + 9316620 x6 − 108207900 x5
+ 601832025 x4 − 1417189500 x3 + 965841750 x2 + 597667500 x − 668786875

84

5832 x6 − 1377 x4 − 2160 x2 − 4

85

531441 x12 − 85726026 x8 − 48347280 x6
+ 11588832 x4 + 4759488 x2 − 892448

87

45137758519296 x16 − 110336743047168 x14 − 191069246324736 x12 + 209269081571328 x10
+ 364547659290624 x8 − 58793017190400 x6 + 3306865979520 x4 − 1275399855936 x2 + 1439671249

88

521578814501447328359509917696 x32 − 985204427391622731345740955648 x30
− 16645447351681991898880656015360 x28 + 79710816694053483249372512649216 x26
− 152195045391070538203422101864448 x24 + 156280253448056209478031589244928 x22
− 96188116617075838858708654227456 x20 + 30636368373570166303441645731840 x18
+ 5828527077458909552923002273792 x16 − 8060049780765551057159394951168 x14
+ 1018074792115156107372011716608 x12 + 35220131544370794950945931264 x10
+ 327511698517355918956755959808 x8 − 116978732884218191486738706432 x6
+ 10231563774949176791703149568 x4 − 366323949299263261553952192 x2
+ 3071435678740442112675625

89

47330370277129322496 x20 − 722445512980071186432 x18
+ 3596480447590271287296 x16 − 8432333285523990773760 x14
+ 8973584611317745975296 x12 − 3065290664181478981632 x10
+ 366229890219212144640 x8 − 8337259437908852736 x6
− 22211277300912896 x4 + 132615435213216 x2
+ 2693461945329

90

1213025622610333925376 x24 + 54451372392730545094656 x22
− 796837093078664749252608 x20 − 4133410366404688544268288 x18
+ 20902529024429842816303104 x16 − 133907540390420673677230080 x14
+ 246234688242991598853881856 x12 − 63327534106871321714442240 x10
+ 14389309497459555704164608 x8 + 48042947402464500749392128 x6
− 5891096640600351061013664 x4 − 3212114716816853362953264 x2 + 479556973248657693884401

內切球半徑、中分球半徑和外接球半徑

[编辑]

下表列出了存在內切球、中分球和外接球之詹森多面體的各種球半徑(內切球半徑Ri中分球半徑Rm或外接球半徑Rc,不存在則不列出)與邊長之比。

詹森多面體不一定有內切球、中分球和外接球。比方說,除非該詹森多面體的所有頂點都位於某個球面上,否則這個詹森多面體不會存在外接球。詹森多面體的對稱性比正多面體低,因此很多詹森多面體不存在這些球體。只有正四角錐J1正五角錐J2這兩個立體三種球都存在。

表格內容的資料來源是來自沃尔夫勒姆研究公司Mathematica軟體提供的PolyhedronData[..., "Inradius"]PolyhedronData[..., "Midradius"]PolyhedronData[..., "Circumradius"]指令。 輸出的數值已被化簡過了。

Jn Ri/a (近似值) Ri/a (精確值) Rm/a (近似值) Rm/a (精確值) Rc/a (近似值) Rc/a (精確值)
1 0.258819045 0.500000000 0.707106781
2 0.232788309 0.809016994 0.951056516
3 - - 0.866025404 1.000000000
4 - - 1.306562965 1.398966326
5 - - 2.176250899 2.232950509
6 - - 1.538841769 1.618033989
7 - - - - - -
8 - - - - - -
9 - - - - - -
10 - - - - - -
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參見

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參考文獻

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  1. ^ Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8可免费查阅. 
  2. ^ Zalgaller, Victor A. Convex Polyhedra with Regular Faces. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 1967, 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302 (俄语). 
  3. ^ Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. (原始内容存档于2021-08-18). 
  4. ^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209. 
  5. ^ D. Eppstein英语David Eppstein. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. (原始内容存档于2021-01-26). 

外部連結

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