三叶结
在纽结理论中,三叶结(trefoil knot)31是一种最简单的非平凡纽结。可以用反手結连接两个末端而达成。它是唯一一种有3个交叉的纽结。它也可以描述为 (2,3)-环面纽结。由於三葉結的結構極為簡單,它是研究紐結理論很重要的基本案例,在拓撲學、幾何學、物理學、化學領域,有廣泛的用途。
三叶结得名于植物三叶草。
三叶结可以由以下的参数方程确定:
![{\displaystyle x=\sin t+2\sin 2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90eec45acc9772646164ab41d72d1d20dc7e2a0)
![{\displaystyle \qquad y=\cos t-2\cos 2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bdd4794de51aa46897cd470d0bdf864e9970a7)
![{\displaystyle \qquad z=-\sin 3t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fddcc96ff8b75ab5e33561fbc91592fd453aeb)
三叶结也可以看作(2,3)-环面纽结。对应的参数方程为:
![{\displaystyle x=(2+\cos 3t)\cos 2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8455425b23ccb4e60275107a5aa9ba3d6844a9f2)
![{\displaystyle \qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bf064df7a929b8199bf78beab5151dd472da38)
![{\displaystyle \qquad z=\sin 3t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4a5dc1c46a9bf7fc68f6963db3503817ecac40)
与它们同痕的纽结还是三叶结。它们的镜像也称为三叶结。
三叶结还可以定义为
中三维球面
和曲线
的交。
三叶结是最简单的非平凡纽结。它是一个素纽结,也是交错纽结。
三叶结有两个版本,它们互成镜像,彼此不相同痕,分别称为左手三叶结和右手三叶结。
它的亚历山大多项式是:[1]
![{\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b73d5b61106837ad9baeac48a814637c45ab4c)
康威多项式是:
![{\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fda6fe9b9768ee6cd163a342febc82722774d28)
琼斯多项式是:
![{\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b38003a4e486d8a6dc48d45ba649069ea78fda)
Kauffman多项式是:
HOMFLY多项式是:
![{\displaystyle P(a,z)=-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114d71f7c9c0510fb7601f684b5f13a5b81069e2)
它的纽结群具有下述表示:[2]
![{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96555302ad1a164b23b2bf0fc451eeb71850c89)
或:
这和三股辫群是同构的。
使用三葉結設計的圖案[编辑]
三叶结在1989年至2007年被用作香港亞洲電視的台徽。
國際羊毛局的純羊毛標誌是一束結為三葉結的毛線。
莫里茨·科内利斯·埃舍尔:[3]
参考文献[编辑]