在同調代數中,Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲,但其應用遍佈許多領域。
設 為有充足內射元的阿貝爾範疇,例如一個環 上的左模範疇 。固定一對象 ,定義函子 ,此為左正合函子,故存在右導函子 ,記為 。當 時,常記之為 。
根據定義,取 的內射分解
並取 ,得到
去掉首項 ,最後取上同調群,便得到 。
另一方面,若 中也有充足射影元(例如 ),則可考慮右正合函子 及其左導函子 ,可證明存在自然同構 。換言之,對 取射影分解:
並取 ,得到
去掉尾項 ,其同調群同構於 。
- 若 是射影對象或 是內射對象,則對所有 有 。
- 反之,若 ,則 是射影對象。若 ,則 是內射對象。
- 根據導函子性質,對每個短正合序列 ,有長正合序列:
- 承上,若 有充足的射影元,則對第一個變數也有長正合序列;換言之,對每個短正合序列 ,有長正合序列
今設 為含單位元的環,並固定一環同態 。則由雙函子的自然同構
導出格羅滕迪克譜序列:對每個 -模 及 -模 ,有譜序列
這個關係稱為換底。
Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說,給定兩個對象 ,在擴張
的等價類與 之間有一一對應,下將詳述。
對任兩個擴張
- 與
可以構造其 Baer 和 為 ,其中 (反對角線)。這在等價類上構成一個群運算,可證明此群自然地同構於 。
對更高階的擴張,同樣可定義等價類;對任兩個 n-擴張(n>1)
- 與
此時的 Baer 和定為
其中 (反對角線 之定義同上),。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算,此群自然同構於 。藉此,能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。
- 設 為群,取環 ,可以得到群上同調:。
- 設 為局部賦環空間 上的 -模範疇,可以得到層上同調:。
- 設 為李代數,取環 為其泛包絡代數,可以得到李代數上同調:。
- 設 為域, 為 -代數,取環 , 帶有自然的 -模結構,此時得到 Hochschild 上同調:。
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1