雙射記數

雙射記數系統（Bijective numeration）是一種表示數字的位置數值系統，每個非負整數都可使用有限數字串表示。該名稱「雙射」指的是非負整數集和用有限符號集的有限字符串集間存在雙射（即一一對應）。

大多數數字系統，例如十進制，都不是雙射的；因為不止一串數字可以表示同一個正整數：添加前導零不會改變表示的值，例如「1」、「01」、「001」都表示數字「1」。而一進制因為只有一個數字「1」所以必然「是」雙射的。

雙射進制-k記數系統是一個雙射進位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）編碼正整數；值的位置定義為「k」的冪倍數。Smullyan (1961)稱此為k-adic：用有限非零數字串表示普通整數的系統，而p-adic數是包含整數作為子集的一個數學值系統，並且可能需要無限數字序列表示。

定義

雙射進位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）來唯一編碼每個非負整數：

• 零由空字符串表示。
• 由非空數字串表示的整數

a_na_n−1 ... a₁a₀ = a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰.

• 表示整數的數字串m>0是a_na_n−1 ... a₁a₀

當

${\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}$

且

$f(x)=\lceil x\rceil -1,$

$\lceil x\rceil$是不小於的最小整數x（上取整函數）

相反，標準進位制可用類似遞歸算法定義當

$f(x)=\lfloor x\rfloor ,$

擴展到整數

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在$k>1$進制, the bijective base-$k$ numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base-$b$ numeral system by use of an infinite number of the digit $d_{k-1}$, where $f(d_{k-1})=k-1$, represented as a left-infinite sequence of digits $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$. This is because the Euler summation

$g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1$

meaning that

$g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0$

and for every positive number $n$ with bijective numeration digit representation $d$ is represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$. For base $k>2$, negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ with $i<k-1$, while for base $k=2$, negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k}}}d$. This is similar to how in signed-digit representations, all integers $n$ with digit representations $d$ are represented as ${\overline {d_{0}}}d$ where $f(d_{0})=0$. This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the $k$-adic integers, of which the integers are only a subset.

性質

對於$k\geq 2$進制：

• 表示非負整數n的雙射k進位位數是$\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$，與$\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$相比，k進制如果是「1」，位數就是n。
• 最小可表示為長度$l\geq 0$的雙射k進制數字的非負整數是$min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$。
• 最大可表示為長度$l\geq 0$的雙射k進制數字的非負整數是$max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$，相當於$max(l)=k\times min(l)$或$max(l)=min(l+1)-1$。
• 非負整數n的雙射k進制可和普通進制k相同，當且僅當普通進制不含數字「0」，或者等效地，雙射進制既不是空字符串也不包含數字k。

對於進制$k\geq 1$，

• 會有$k^{l}$個雙射進制，長度為$l\geq 0$的k。
• 雙射進制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16為底的數如下（這裡列出普通的表示方式以供比較）：

雙射一進制	λ	1	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111	111111111	1111111111	11111111111	111111111111	1111111111111	11111111111111	111111111111111	1111111111111111	...
雙射二進制	λ	1	2	11	12	21	22	111	112	121	122	211	212	221	222	1111	1112	...
二進制	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
雙射三進制	λ	1	2	3	11	12	13	21	22	23	31	32	33	111	112	113	121	...
三進制	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...
雙射八進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	11	12	13	14	15	16	17	18	...
八進制	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	...
雙射十進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	11	12	13	14	15	16	...
十進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
雙射十二進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	11	12	13	14	...
十二進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	...
雙射十六進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	...
十六進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	...

例

• 雙射五進制的34152 = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427（十進制）
• 雙射十進制119A（A代表數值10） = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200（十進制）
  • 雙射11進制B = 11（十進制）
  • 雙射35進制Z = 35（十進制）

雙射十進制

雙射十進制系統是一種以 10 為底的位置數字系統，不使用數字來表示零，而用一個數字代表十，例如 A。

與傳統的十進位一樣，每個數字位置代表十的冪，因此例如 123 是「一百，加上兩個十，加上三個一」。 所有在傳統十進位中僅用非零數字表示的正整數（例如 123）在不帶零的十進位中具有相同的表示形式。 使用零的必須重寫，例如10變為A，常規20變為1A，常規100變為9A，常規101變為A1，常規302變為2A2，常規1000變為99A，常規1110變為AAA，常規2010變為19AA ， 等等。

不帶零的十進位的加法和乘法本質上與傳統十進位相同，只是當位置超過十時而不是超過九時發生進位。 因此，要計算 643 + 759，有十二個個位（在右邊寫 2，十位進位 1）、十個十（記為 A，不需要進位到百位）、十三個百（在右邊寫 3，進位 1）、和一個千（寫 1），得到結果 13A2 而不是傳統的 1402。

雙射二十六進制

在雙射二十六進位系統中，可以使用拉丁字母A到Z來表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通過選擇這種表示法，數字序列（從 1 開始）開始為 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每個數字位置代表二十六的冪，例如數字 ABC 代表十進位的 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731。

許多電子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系統為電子表格的列分配標籤，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（2¹⁴） 列，從 A 到 XFD。 該系統的一個變體用於命名變星。 它可以應用於任何需要使用字母進行系統命名的問題，同時使字符串儘可能短。

歷史

每個非負整數在雙射 k (k ≥ 1) 進位中都有唯一的表示，這一事實是一個已被多次重新發現的「民間定理」。 早期的例子是 Foster (1947) （對於 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （對於所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用該系統提供邏輯系統中符號串的哥德爾編號； Böhm 使用這些表示以程式語言 P′′ 執行計算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情況，Salomaa (1973) 討論了 k ≥ 2 的情況。Forslund (1995) 似乎是另一個重新發現，並提出假設說如果古代計數系統使用雙射 k 進位，可能由於人們普遍不熟悉這一系統，導致考古文獻中並未發現這一點。

參考

• Böhm, C., On a family of Turing machines and the related programming language, ICC Bulletin, July 1964, 3: 191 .
• Forslund, Robert R., A logical alternative to the existing positional number system, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
• Foster, J. E., A number system without a zero symbol, Mathematics Magazine, 1947, 21 (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
• Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms 1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
• Salomaa, A., Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
• Smullyan, R., 9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers, Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies 47, Princeton University Press: 34–36, 1961 .