貝葉斯置信區間

貝葉斯置信區間 英文名為 Credible Interval，有時也簡稱為置信區間。給定一定的實驗（測量）結果，通過貝葉斯的理論可以計算出被估計參數的後驗概率分布，從而得到一定置信概率下參數的取值區間。

形式化的描述

設被估計的參數為$x$，為了測量這個數據，（獨立的）做了 $n$ 次 實驗，實驗的結果集計為

$Y=\left\{y(i),i=1,...,n\right\}$

對於每次實驗，我們定義實驗結果似然概率密度函數：

$P\left(y(i)|x\right)$

從而所有實驗的似然概率密度函數是：

$P(Y|x)=\Pi _{i}^{n}P\left(y(i)|x\right)$

利用貝葉斯公式，我們可以得到 x 的後驗概率密度：

$p(x|Y)={\frac {P(Y|x)P(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }P(Y|x)P(x)dx}}$

其中 $p(x)$ 是 x 的先驗概率密度，也就是不考慮（本次）實驗結果的情況下對於 x 的基本認識和假設；如果 x 為離散值，把積分符號變成求和即可。

最後的置信區間就是在 $p(x|Y)$ 上找到一個 x 的取值區間（通常是連續的），這個區間的面積等於置信概率（區間的選取方法可以有多種）。