笛卡爾卵形線

在幾何學中，以勒內·笛卡爾的名字命名的笛卡爾卵形線（英語：Cartesian oval），是一種平面曲線，指一群對兩定點具有相同線性組合的點所形成的集合。

定義[編輯]

設 ${\text{P}}$ 、 ${\text{Q}}$ 為平面上兩定點，並令 $d(P, S)$ 和 $d(Q, S)$ 表一動點 ${\text{S}}$ 分別與 ${\text{P}}$ 、 ${\text{Q}}$ 的歐幾里得距離長，並令 ${\text{m}}$ 及 ${\text{a}}$ 為兩任意實數，則笛卡爾卵形線即為所有滿足方程式 $d(P, S) + m d(Q, S) = a$ 之點所形成之軌跡。其中，由四組方程式 $d(P, S) + m d(Q, S) = \pm a$ 與 $d(P, S) - m d(Q, S) = \pm a$ 構成的兩組卵形線具有密切相關，兩者可構成一四次平面曲線稱為「Descartes卵形線」（英語：Ovals of Descartes）。^[1]

特例[編輯]

在方程 $d(P, S) + m d(Q, S) = a$ 中，

若 $m = 1$ 且 $a > d(P, Q)$ ，得到的形狀為橢圓。若是在P和Q重合的極限條件（英語：Limiting case (mathematics)）下，橢圓變成圓。
若 $m=a/{\text{d}}(P,Q)$ ，會出現帕斯卡蝸線。
若 $m=-1$ 和 $0<a<{\text{d}}(P,Q)$ ，圖形會是雙曲線的一個分支，不是封閉的卵形線。

多項式[編輯]

$(x, y)$ 的坐標滿足四次多項方程式^[1]^[2]

[(1 - m 2)(x 2 + y 2) + 2 m 2 cx + a 2 - m 2 c 2] 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2)

,

其中 $c$ 為固定焦點 $P = (0, 0)$ 和 $Q = (c, 0)$ 之間的距離 ${\text{d}}(P,Q)$ ，形成兩個橢圓形，這些點會滿足以下四個方程式中的二個真正有解的方程式

d(P, S) \pm m d(Q, S) = a

,

d(P, S) \pm m d(Q, S) = - a

^[2]

兩個橢圓形通常是斷續的，除了在的情況， $P$ 或 $Q$ 屬於他們。至少兩個垂線以 $PQ$ 通過點的 $P$ 和 $Q$ 削減這四次曲線中的四個實點；因此，他們一定是嵌套，至少有兩個點的 $P$ 和 $Q$ 包含在內。^[2] 對於一個不同的參數化並得到四次。

光學應用[編輯]

笛卡爾發現，笛卡爾卵形線可以用於透鏡設計。通過材料折射率，確定與之匹配的 P 和 Q 的比值。再用得到的卵形線作出旋轉曲面，就可以得到消球差透鏡。^[3]

另外，球面波通過球面透鏡或被球面凹面鏡反射後，其折射或反射波的波前為笛卡爾卵形線。由球面像差形成的出射波包絡線可以用笛卡爾卵形線的漸屈線描述。^[4]

歷史[編輯]

1637年，笛卡爾首先研究了笛卡爾卵形與光學元件的關係。

牛頓從1664年開始也涉足笛卡爾卵形線的研究。從笛卡爾開始，人們就開始使用一種類似於畫橢圓的方法繪製笛卡爾卵形線。通過伸線。如果一直延伸線從一個銷在一個焦點，圍繞著一個針，在第二個重點，並聯繫的自由端的程筆，採取的路徑筆，當線繃緊，形成一個直角橢圓2:1的比率之間的距離的兩個焦點。^[5] 但是，牛頓拒絕了這樣的結構作不夠嚴謹。^[6] 他定義了橢圓形作為解決一個微分方程，建造其子法線，並再次調查它的光學性能。^[7]

法國數學家米歇爾夏斯萊發現，在19世紀，如果笛卡爾是橢圓形的定義由兩點 $P$ 和 $Q$ ，再有就是在一般的第三點 $R$ 對同樣行使同樣的橢圓形的也是限定的任何對這三點。^[2]

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋重新發現了這些曲線，普遍他們的曲線定義保持恆定的加權總和的距離從三個或更多的焦點，並寫了一份題為 對具有多個焦點和不同比例半徑的外接圖形的觀察的。一個考慮到他的結果，標題 的說明橢圓曲線，以及那些具有多個重點，是由 J.D.《福布斯》，並提交給了皇家協會，愛丁堡，在1846年，當麥克斯韋是在年輕的年齡為14(幾乎15).^[5]^[8]^[9]

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

^ ^1.0 ^1.1 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英語：Edmund F. Robertson）, 笛卡尔卵形线, MacTutor數學史檔案（英語）
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey, An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions 4th, J. Wiley: 295–299, 1888 .
^ Dijksterhuis, Fokko Jan, Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology 9, Springer-Verlag: 13–14, 2004 [2019-02-09], ISBN 978-1-4020-2697-3, （原始內容存檔於2016-12-22） .
^ Percival, Archibald Stanley, Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics, Optics, a manual for students, Macmillan: 312–327, 1899 [2019-02-09], （原始內容存檔於2016-12-24） .
^ ^5.0 ^5.1 Gardner, Martin, The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag: 46–49, 2007, ISBN 978-0-387-25827-0 .
^ Guicciardini, Niccolò, Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology 4, MIT Press: 49 & 104, 2009, ISBN 978-0-262-01317-8 .
^ Whiteside, Derek Thomas, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3, Cambridge University Press: 139, 495, & 551, 2008, ISBN 978-0-521-04581-0 .
^
科學信件和文件的詹姆斯*麥克斯韋，編P.M.哈曼，第一卷，1846-1862，劍橋大學出版社，pg。 35
^
MacTutor學史檔案

外部連結[編輯]

[mactutor-1] 1.0 ^1.1 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英語：Edmund F. Robertson）, 笛卡尔卵形线, MacTutor數學史檔案（英語）

[rj1888-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey, An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions 4th, J. Wiley: 295–299, 1888 .

[3] Dijksterhuis, Fokko Jan, Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology 9, Springer-Verlag: 13–14, 2004 [2019-02-09], ISBN 978-1-4020-2697-3, （原始內容存檔於2016-12-22） .

[4] Percival, Archibald Stanley, Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics, Optics, a manual for students, Macmillan: 312–327, 1899 [2019-02-09], （原始內容存檔於2016-12-24） .

[gardner-5] 5.0 ^5.1 Gardner, Martin, The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag: 46–49, 2007, ISBN 978-0-387-25827-0 .

[6] Guicciardini, Niccolò, Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology 4, MIT Press: 49 & 104, 2009, ISBN 978-0-262-01317-8 .

[7] Whiteside, Derek Thomas, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3, Cambridge University Press: 139, 495, & 551, 2008, ISBN 978-0-521-04581-0 .

[8] 
科學信件和文件的詹姆斯*麥克斯韋，編P.M.哈曼，第一卷，1846-1862，劍橋大學出版社，pg。 35

[9] 
MacTutor學史檔案

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]