在數學中,拉開(法文:éclatement,英文:blowing up)、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作,代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形
上一點
的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢,或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射
,這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。
當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一平面曲線,並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。
對仿射空間中一點作拉開[編輯]
以下僅考慮複數域
上的情形,一般構造準此可知。
令
為複仿射空間
的原點,仿射空間的元素以坐標表為
。令
為
-維複射影空間,其元素以齊次坐標表示為
。 令
為
中由等式
定義之閉子集,其中
。則投影態射
![{\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5d270c7e8d46dafb0108d3f5f6c4511fa59866)
自然地導出態射(特別也是全純函數)
![{\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a6681ceb6b184aa2b15a976fa99105bdaa7595)
此態射
(或者更常指空間
)稱為
的拉開。
例外除數
定義為
對態射
的逆像。可以證明
![{\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef9bfd9c1390ca1e47ac05fb590d0ff19dc2848)
同構於射影空間。它是個非負除數,而且在
之外
是同構。因此
是
與
之同構。
對複流形的子流形作拉開[編輯]
一般來說,我們可以開任何餘維為
的複子流形
。設
由方程式
定義,並設
為
上的齊次坐標。沿
的拉開
定義為方程
(對所有
)在空間
中定義的閉子集。
進一步推廣,我們可拉開任何複流形
的任一複子流形
,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將
拉開為例外除子
。而拉開態射
![{\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5acd2230dd5763a94d37a7da82e513539ae3e34)
依然是雙有理的,並在
外是同構。
可自然地視作
的法叢的射影化,因此
局部上是纖維化映射,其纖維為
。
由於
是平滑除子,其法叢為線叢。對於曲面的情形,可證明
的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。
是其同調類在
上的唯一代表,原因在於:假設
經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形,則它和
的相交數必為正,故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。
設
維某個
中不等於
的複子流形。若
不交
,則它本質上不受沿
的拉開影響。然而若有相交,則
在
中導出兩個幾何對象:一者是真變換或稱嚴格變換,它是
在
中的閉包,其法叢一般與
的不同。另一者是全變換,包含
的全體或一部分,其同調類基本上是
的上同調類之拉回。
推廣:概形的拉開[編輯]
拉開可以在一般的概形上定義。令
為一概形,並設
為其上一凝聚理想層,
沿
的拉開是概形
及真態射
![{\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77f11f1cc94c740ea5e641fe73cf2fc92a13b99)
使得
是可逆層,此拉開由下述泛性質刻劃:
- 對任何態射
,若它使得
是可逆層,則
唯一地透過
分解。
此拉開可具體地由
![{\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c43b6a3d7ee2cc0277d2e1e0e0d5ed74e73b7a6)
構造。當
是擬射影概形時,
將是射影態射。
重要性質[編輯]
與有理映射的關係[編輯]
與奇點解消的關係[編輯]
曲面的拉開[編輯]
在平滑的射影曲面上,任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。
以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具:
定理 . 設
為平滑射影曲面,
為
上一個既約除數,若其相交矩陣
負定,則
可表成某個代數曲面的拉開,使得
為其例外除數。
相交理論[編輯]
相關的建構[編輯]
向法錐變形[編輯]
向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形
及其閉子概形
,我們在
中拉開
,則
![{\displaystyle {\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718e05cfe7efd019048942cf29250b3a8d7d3fcc)
是纖維化映射。沿著
的一般纖維自然同構於
,而中心纖維則是兩個概形的併集:一者是
沿
的拉開;另一者則是
的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。
辛流形的拉開[編輯]
拉開也可以在辛流形的範疇中施行,稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構,然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數
延拓,而必須在
的一個鄰域上修改之;或藉著將
的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。