孤立奇異點

假設X是一個代數簇，P∈X是X上的一個奇異點，如果存在一個包含P的開鄰域（又稱開集）U，使得U中不在包含其他的奇異點， 那麼就稱P是孤立奇異點。

在亞純函數中，所有奇異點都是孤立的；但如果一個函數的所有奇異點都是孤立的，並不能保證它是亞純函數。複分析中許多有用的工具，例如洛朗展開、留數定理等，都需要保證相關奇異點的孤立性才能應用。

孤立奇異點分為三種：

• 可去奇異點
• 極點
• 本性奇異點

例子

函數${\frac {1}{z}}$在$z=0$處有孤立奇異點。

餘割函數$\csc(\pi z)$在所有整數點處有孤立奇異點。

函數$\exp({\frac {1}{z}})$在$z=0$處有孤立奇異點，這是一個本質奇異點。

複分析中孤立奇異點與洛朗展開的關係

可去奇異點、極點、本性奇異點的定義

三種孤立奇異點有許多等價定義，以下列出部分，用以說明與洛朗級數的關係。

1. 一個孤立奇異點$a$被稱作可去奇異點，如果$\lim _{z\rightarrow a}<\infty$；
2. 一個孤立奇異點$a$被稱作極點，如果$\lim _{z\rightarrow a}=\infty$；
3. 一個孤立奇異點$a$被稱作本性奇異點（又譯作本質奇異點），如果極限$\lim _{z\rightarrow a}$不存在。

洛朗級數的主要部分

複函數$f(z)$在一個以點$c$為圓心的解析的環形區域$D$上可以展開成這樣的級數形式

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

其中，$a_{n}$具有這樣的形式：$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,$。積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，位於圓環A內。

此時，$f(z)$的洛朗展開式中，指數為負數的部分$\sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-c)^{n}$稱作$f(z)$的主要部分(principal part)。

可去奇異點、極點、本性奇異點與洛朗級數的主要部分的關係

以下可以看作可去奇異點、極點、本性奇異點又一等價定義。

1. 假設$a$是複函數$f(z)$的一個可去奇異點，則$f(z)$在$a$處鄰域內的洛朗級數展開式不含有主要部分。
2. 假設$a$是複函數$f(z)$的一個極點，則$f(z)$在$a$處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分僅含有有限項；且主要部分的項數恰等於極點$a$的階數。
3. 假設$a$是複函數$f(z)$的一個本性奇異點，則$f(z)$在$a$處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分含有無窮多項。

參見

• 非孤立奇異點

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Singularity. MathWorld.