光滑函數

光滑函數（英語：Smooth function）在數學中特指無窮可導的函數，不存在尖點，也就是說所有的有限階導數都存在。例如，指數函數就是光滑的，因為指數函數的導數是指數函數本身。

若一函數是連續的，則稱其為$C^{0}$函數；若函數存在導函數，且其導函數連續，則稱為連續可導，記為$C^{1}$函數；若一函數$n$階可導，並且其$n$階導函數連續，則為$C^{n}$函數（$n\geq 1$）。而光滑函數是對所有$n$都屬於$C^{n}$函數，特稱其為$C^{\infty }$函數。

按照要求構造光滑函數

構造在給定區間外為零但在區間內非零的光滑函數經常很有用。這是可以達到的；另一方面來講，一個冪級數不可能有這樣的屬性。這表明光滑和解析函數之間存在著巨大的鴻溝；所以泰勒定理一般不可以應用到展開光滑函數。

要給出這樣的函數的顯式構造，我們從構造如下的函數開始

$f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)$，

開始先對$x>0$定義。我們不但有

$\lim _{x\to 0}f(x)\to 0$（從上式可以得到）

而且對於所有多項式$P$,有

$\lim _{x\to 0}P(x)f(x)\to 0$

因為負指數的指數增長起支配作用。這意味著對於$x<0$設定$f(x)=0$將給出一個光滑函數。像$f(x)f(1-x)$這樣的組合可以以任何給定區間為支撐構成；在這個特例中，該區間是$[0,1]$。這樣的函數從$0$開始有特別慢的『啟動』。

參看非解析無窮可微函數。

和解析函數理論的關係

用複分析的術語考慮，如下的函數

$g(z)=\exp(-{\frac {1}{z^{2}}})$

對於$z$取任何實數值是光滑的，但在$z=0$有一個本質奇異點。也就是，在$z=0$附近的行為不好；但恰巧只看實參數時無法讓我們發現這一點。

光滑單位分解

給定閉支撐的光滑函數用於構造光滑單位分解（參看拓撲學術語單位分解條目）；這在光滑流形的研究中有基本的作用，例如在證明黎曼度量可以從他們的局部存在性全局的定義時。一個簡單的情形是實直線上的一個突起函數，一個光滑函數$f$在區間$[a,b]$外為$0$，並且使得

$f(x)>0$ for $a<x<b$.

給定一些直線上的互相重疊的區間，可以在每個區間上構造突起函數，在半無限區間（$-\infty ,c]$和$[d,+\infty$）上也可以，以覆蓋整條直線，使得函數的和總是$1$。

根據前面所說，單位分解不適用於全純函數；它們的對於存在性和解析連續的不同行為是層論的根源之一。作為對比，光滑函數的層趨向於不包含很多拓撲資訊。

流形的光滑映射

光滑流形之間的光滑映射可以用坐標圖的方式來定義。因為函數的光滑性的概念和特定的坐標圖的選取無關。這樣的映射有一個一階導數，定義在切向量上；它給出了在切線束的級別上的對應纖維間的線性映射。

高等定義

在需要討論所有無窮可微函數的集合時，以及該空間的元素在微分和積分、求和、取極限時的行為時，人們發現所有光滑函數的空間不是一個合適的選擇，因為它在這些操作下不是完備和閉合的。對於這個情況的一個正確處理，我們可以採用索伯列夫空間（Sobolev space）的概念。

參看

• 准解析函數
• 分段光滑函數