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伴隨矩陣

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

線性代數中,一個方形矩陣伴隨矩陣(英語:adjugate matrix)是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆,那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而,伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義,並且不需要用到除法

的伴隨矩陣記作,或

定義

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R是一個交換環A是一個以R中元素為係數的n×n矩陣A的伴隨矩陣可按如下步驟定義:

  • 定義:A關於第i行第j列的餘子式(記作Mij)是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式
  • 定義:A關於第i行第j列的代數餘子式是:
  • 定義:A余子矩陣是一個n×n的矩陣C,使得其第i行第j列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式

引入以上的概念後,可以定義:矩陣A伴隨矩陣A的余子矩陣的轉置矩陣

也就是說,A伴隨矩陣是一個n×n的矩陣(記作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式。 簡言之,伴隨矩陣就是把原來余子矩陣C每一列的代數餘子式橫著寫:

例子

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2x2矩陣

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一個矩陣的伴隨矩陣是

3x3矩陣

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對於的矩陣,情況稍微複雜一點:

其伴隨矩陣是:

其中

要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置,因此第3行第2列的係數是A關於第2行第3列的代數餘子式。

具體情況

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對於數值矩陣, 例如求矩陣 的伴隨矩陣

只需將數值代入上節得到的表達式中。

即:

其中,為刪掉矩陣 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式,為矩陣 餘因子


例如:第3行第2列的元素為

依照其順序一一計算,便可得到計算後的結果是:

應用

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作為拉普拉斯公式的推論,關於n×n矩陣A行列式,有:

其中In階的單位矩陣。事實上,A adj(A)的第i行第i列的係數是

。根據拉普拉斯公式,等於A的行列式。

如果ij,那麼A adj(A)的第i行第j列的係數是

。拉普拉斯公式說明這個和等於0(實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同,行列式為0)。

由這個公式可以推出一個重要結論:交換環R上的矩陣A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。

這是因為如果A可逆,那麼

如果det(A)是環中的可逆元素那麼公式(*)表明

性質

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的矩陣AB,有:

  1. 當n>=2時,
  2. 如果A可逆,那麼
  3. 如果A對稱矩陣,那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣;如果A反對稱矩陣,那麼當n為偶數時,A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣,n為奇數時則是對稱矩陣。
  4. 如果A是(半)正定矩陣,那麼其伴隨矩陣也是(半)正定矩陣。
  5. 如果矩陣AB相似,那麼也相似。
  6. 如果n>2,那麼非零矩陣A正交矩陣若且唯若

伴隨矩陣的秩

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當矩陣A可逆時,它的伴隨矩陣也可逆,因此兩者的一樣,都是n。當矩陣A不可逆時,A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時,其伴隨矩陣的秩為1,當A的秩小於n-1時,其伴隨矩陣為零矩陣。

伴隨矩陣的特徵值

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設矩陣A在複域中的特徵值(即為特徵多項式n個根),則A的伴隨矩陣的特徵值為

證明

這裡要用到一個結論作為引理:一個n階矩陣的n個特徵值的和等於它的跡數,它們的乘積等於矩陣的行列式

分3種情況討論:

  • 如果A的秩為n,即是說A可逆,那麼由引理有:。只需證明A的伴隨矩陣的特徵值為。考察矩陣

由於,因此

因此

可以看到的特徵多項式為,因此命題成立。

  • 如果A的秩嚴格小於n-1,即是說A至少有兩個特徵值為0,於是

全部都是0。這時A的伴隨矩陣為0,因此特徵值也全是0。命題成立。

  • 如果A的秩等於n-1,即是說A至少有一個特徵值為0,不妨設其為。由於這時A的伴隨矩陣秩為1,它至少有n-1個特徵值為0。設剩餘的一個為,則其跡數。另一方面,A的伴隨矩陣的跡數為

這個和恰好等於,即等於(其餘都是0)。

綜上所述,對任意的矩陣A,命題都成立。

伴隨矩陣和特徵多項式

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特徵多項式,定義,那麼:

,

其中的各項係數:

伴隨矩陣也出現在行列式導數形式中。


參見

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參考來源

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外部連結

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