不等

數學上，不等是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

• $a<b$，即$a$小於$b$
• $a>b$，即$a$大於$b$

上述兩個屬於嚴格不等。

• $a\leq b$，即$a$小於等於$b$
• $a\geq b$，即$a$大於等於$b$
• $a\neq b$，即$a$不等於$b$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號$a\gg b$表示$a$「遠大於」$b$。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程式相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程式的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質：

三一律：

對任意實數$a$、$b$，只有下列之一是真的：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

調換性質：

對任意實數$a$、$b$：

• $a<b$ 和 $b>a$ 是等價的。
• $a\leq b$ 和 $b\geq a$ 是等價的。

遞移性：

對任意實數$a$、$b$、$c$：

• 如果 $a<b$ 且 $b<c$，則 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$，則 $a\leq c$。
• 如果 $a<b$ 且 $b\leq c$，則 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b<c$，則 $a<c$。

加法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$：

• 若 $a>b$；則 $a+c>b+c$ 。
• 若 $a<b$；則 $a+c<b+c$。

乘法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$，且有$c\neq 0$：

• 若$c$為 正數 且 $a>b$；則 $ac>bc$。
• 若$c$為 正數 且 $a<b$；則 $ac<bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a>b$；則 $ac<bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a<b$；則 $ac>bc$。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 $A>B$，$C>D$，不可以認為 $A-C>B-D$，但根據此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

連鎖表示法

• $a<b<c$ 代表「$a<b$ 且 $b<c$」。
• $a\leq b\leq c$ 代表「$a\leq b$ 且 $b\leq c$」。
• $a<b\leq c$ 代表「$a<b$ 且 $b\leq c$」。
• $a\leq b<c$ 代表「$a\leq b$ 且 $b<c$」。

舉例

• 若$x>0$ ；則

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},$

• 若$x>0$；則

$x^{x^{x}}\geq x\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},$

• 若$a,b>0$；則

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,$

• 若$a,b>0$；則

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,$

• 若$a,b,c>0$；則

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,$

• 若$a_{1},\ldots ,a_{n}>0$；則

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

• 對於實數 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；則

  $a+c<b+d$

  (例-1)

  證明
  $a<b$ (10) [前提] $c<d$ (15) [前提] $a-b<0$ (20) 源自 (10) $0<d-c$ (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到 $a-b<d-c$ (30) 源自 (20) (25) $a-b+(b+c)<d-c+(b+c)$ (35) 源自 (30) $a+c<b+d$ (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；則

$a-d<b-c$

(例-2)

證明
$a<b$ (45) [前提] $c<d$ (50) [前提] $-c>-d$ (55) 源自 (50) $-d<-c$ (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由 (例-1) 可以得到 $a+(-d)<b+(-c)$ (65) 源自 (45) (60) $a-d<b-c$ (70) 源自 (65) [結論]

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 不等號
• 不等式列表