三立方數和

整數x、y與z滿足x³ + y³ + z³ = n的半對數圖線，其中n ∈ [0, 100]。綠色條帶代表已證明無解的整數。

三立方數和問題（英語：sums of three cubes）是指丟番圖方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$是否存在整數解的問題。由於立方數模9同餘0、1或-1，三立方數和模9不可能同餘4或5，因而這是整數解存在的一個必要條件。然而，對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。

小整數例

$n=0$時，若存在非平凡的三立方解，則費馬大定理找到反例。此時三個立方數中必有兩個同號，經移項，就會出現兩正整數立方和等於另一正整數立方的情況。由於歐拉早已證明冪次為3的費馬大定理，在$n=0$時的三立方和只有如下平凡解：

$a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.$

$n=1,2$時，存在如下解系，有無數解：

$(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1$

以及，

$(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.$

上述表示經縮放可得，任意立方數或立方數的二倍都有三立方和。除上述表示外，$n=1$也有其他三立方和解系，$n=2$有如下著名解：

$1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,$

$37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,$

$3737830626090^{3}+1490220318001^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.$

然而，已經證明只在1和2處存在能被四次多項式參數化的解析表示。即便在$n=3$處，也沒有參數化解系。路易斯·J·莫德爾在1953年寫道，除了其小整數解，「我對其一無所知」，即：

$1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3$

「我」也不知道為什麼這三個數都滿足模9同餘。2019年9月前，上述兩式曾經是$n=3$長期以來僅有的2組已知解，但就在同一月，發現了第3組解：

$569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3$

計算結果

1955年起，莫德爾（Mordell）等許多學者都嘗試過使用計算機尋找該問題的解。對於1000以內的正整數$n$，埃爾森漢斯（Elsenhans）與雅內爾（Jahnel）於2009年使用諾姆·埃爾奇斯提出的基於格規約的方法找到了$\max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}$範圍內的所有解。2016年，於斯曼（Huisman）使用同樣的方法將搜索上界提升至$\max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}$。到此時為止，$n<100$的正整數中，33與42以外所有模9不同餘4或5的$n$都找到了至少一組整數解。

2019年，安德魯·布克採用一種新方法發現了$n=33$的一組解：

$33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}$

此時，他在$\min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}$的範圍里尚沒有找到$n=42$的解。

隨後在2019年9月，布克和安德魯·薩瑟蘭最終敲定了42的一個解，並在MIT數學系的網站上貼了出來：

$42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}$

這個解的獲得在Charity Engine全球網絡（Charity Engine's global grid）上耗費了130萬機時。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。截至2019年9月 (2019-09)，未能求解最小整數是$n=114$，如果有解的話，$(|x|,|y|,|z|)$至少有一數大於100000000000。

在2021年1月初，又解決了579：

$579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}$

至此，僅剩的未解決的在1000以內的整數是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。