用户:老陈/sandbox3

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在钜著《自然哲学的数学原理》1687年版本里，以拉丁文撰写的牛顿第一定律及牛顿第二定律

牛顿第二定律（Newton's second law of motion）表明，物体所受到的外力等于此物体的质量与加速度的乘积，或者，物体所受到的外力等于动量对时间的导数。

1687年，英国物理泰斗艾萨克·牛顿在钜著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，其中有三条定律，分别为牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律与牛顿第三运动定律。牛顿第二定律又称为“加速度定律”。

牛顿第二定律被誉为经典力学的灵魂。在经典力学里，它能够主导千变万化的物体运动与精彩有序的物理现象。牛顿第二定律的用途极为广泛，它可以用来设计平稳地耸立于云端的台北101摩天大厦，也可以用来计算从地球发射火箭登陆月球的运动轨道。

概述

牛顿第二定律表明，物体所受到的外力等于此物体的质量与加速度的乘积。因此，物体的加速度跟所受到的外力成正比，跟物体的质量成反比，而加速度与外力同方向，以方程表达，

$\mathbf {F} \propto m\mathbf {a}$ ；

其中，$\mathbf {F}$ 是外力，$m$ 是质量，$\mathbf {a}$ 是加速度。

通过选择适当的单位，上述方程也可以表达为

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 。

假设施加外力于某物体，则由于该物体的加速度只与外力、质量有关，在任何状况下，物体都会表现出同样的加速度：

$\mathbf {a} =\mathbf {F} /m$。

• 合外力：外力只能造成物体朝着同方向的加速度运动。假设有几个外力作用于同样一个物体，则物体的受力是这几个外力的向量和，称为“合外力”。

• 国际单位制：采用国际单位制，力、加速度、质量的单位分别规定为牛顿（N）、米每二次方秒（m/s²），公斤（kg）。施加1牛顿的力于质量为1公斤的物体，可以使此物体的加速度为1m/s²。也就是说，

$1\mathrm {N} =1\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$ 。

• 惯性参考系：若要知道物体在某一时刻的加速度，则必须从某个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）测量物体随着时间的流易而改变的位移，而在外力为零的前提下，这个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）必须保持运动状态不变，这意味着必须从惯性参考系来测量整个物理系统。因此，牛顿第二定律已事先假设，物体的加速度是从惯性参考系测量到的数值。

• 力与加速度的分解：由于外力与加速度都是向量，这向量方程实际是由三个标量方程组成的。采用直角坐标系 $(x,y,z)$ ，这三个标量方程分别为

$F_{x}=ma_{x}$ 、

$F_{y}=ma_{y}$ 、

$F_{z}=ma_{z}$ ；

其中，$(F_{x},F_{y},F_{z})$ 是外力 $\mathbf {F}$ 的分量，$(a_{x},a_{y},a_{z})$ 是加速度 $\mathbf {a}$ 的分量。

在每个坐标轴方向的分量只会影响加速度在那个坐标轴方向的分量，不会影响加速度的其它分量，而加速度对于每个轴的分量也只会被外力对于那个轴的分量影响，不能被外力的其它分量影响。物体的加速度的这种性质是几个外力的线性叠加所产生的后果，

• 质量守恒：经典力学有一个隐藏的假定，即质量守恒，这又被称为“牛顿第零运动定律”。牛顿并没有直接地提出这定律。第零运动定律表明，物体的质量守恒，与速度无关，与物体的受力无关．当几个物体相互作用时，或许会有质量从一个物体转移到另一个物体，但总质量不变。

• 质量守恒：经典力学有一个隐藏的假定，即质量守恒，这又被称为“第零运动定律”，牛顿并没有直接地提出这定律。第零运动定律表明，物体的质量守恒，与速度无关，与物体的受力无关．当几个物体相互作用时，或许会有质量从一个物体转移到另一个物体，但总质量不变。

• 决定论性：牛顿第二定律是一种决定论性定律。假定物体的质量、初始位置与初始速度为已知量，则从施加于物体的外力，可以应用牛顿第二定律计算出物体在其运动轨迹的任意时间的位置与速度。这是非常有用的方法。

牛顿的论述

原版第二定律的英文翻译为

The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

“motion”是“quantity of motion”的简称，在这里指的是物体的动量。“impressed force”指的是冲量。 整个句子翻译为

动量的变化与冲量成同向正比。

牛顿试着解释冲量与动量之间的关系。假设施加于物体的冲量造成了物体的动量改变，则双倍的冲量会造成双倍的动量改变，三倍的冲量会造成三倍的动量改变，不论冲量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

牛顿又试着解释这动量改变与原先动量之间的关系。这动量改变必定与施加的冲量同方向。假设在冲量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。

牛顿所使用的术语的涵意、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。

质量的操作定义

牛顿定义质量为物体内部所含有的物质数量。这句话相当合理。但是，它接着表示，这物质数量，可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫严厉批评这句话触犯了循环推理，因为密度是质量每单位体积。严谨地思考，牛顿的定义并没有提到怎样实际得到物质数量。对于同类的物体，这问题并不困难，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，那么，两个物体S的质量必定是这标准质量的两倍。对于不同类的物体，就比较复杂，假设这参考物体是一块银砖，那么，某块金砖的质量为何？是否要做原子分析？借着第二定律，操作定义尝试从实际测量的方法，给出物体的质量。通过这种方法定义的质量，称为惯性质量。当施加外力于某物体时，惯性质量衡量这物体对于运动状态改变的抗拒。

根据第二定律，在任何瞬间，物体遵循方程 $F=ma$ 。这方程可以解释质量与惯性之间的关系。假设分别施加相同的外力于两个质量不同的物体，则质量较大的物体的加速度较小，而质量较小的物体的加速度较大。因此，质量较大的物体在响应外力的作用时，对于改变其运动状态表现出较强的“抗拒性”。

然而，怎样才能制造出相同的力？有很多方法可以解决这问题。例如，应用弹簧的物理性质，就可以解决这问题。当弹簧被压缩时，它会因为倾向于回复原状而产生弹力。两个同样的弹簧，假若被压缩同样的距离，则其各自产生的弹力必定相等，不论弹力的大小为何。因此，将两个物体，分别安装在这弹簧的末端，就可以确保这两个物体都感受到相等的力。假设这质量分别为 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的两个物体A、B，由于感受到力 $F$ ，加速度分别为 $a_{A}$ 、 $a_{B}$ ，则

$F=m_{A}a_{A}=m_{B}a_{B}$ 。

因此，可以从 $m_{A}$ 计算出 $m_{B}$ ：

$m_{B}={\frac {a_{A}}{a_{B}}}m_{A}$ 。

按照这公式，选择一个参考物体A，定义它的质量为（譬如说）1千克。然后，通过测量与参考物体感受到同样大小的力而产生的加速度，就可以计算出任何其它物体B的质量。

力的操作定义

古斯塔夫·基尔霍夫主张定义外力为质量与加速度的乘积。按照这方法，第二定律只是一个定义式，而不是自然法则。实际而言，这方法没有将大自然里各种各样的力纳入考量，它忽略了每一种力的独特性。为了要显示出这独特性，可以采用操作定义的方法来给出定义。

两个同样的弹簧，假若被压缩同样的距离，则其各自产生的弹力必定相等。将这两个弹簧并联，可以制成两倍的弹力。将一物体的两边分别连接这两个弹簧的末端，使弹力方向相反，则作用于物体的合力为零，物体会保持静止状态。应用这些结果，设定标准单位力为某弹簧压缩某距离所产生的弹力，就可以制成任意标准单位力倍数的弹力。这可以用来做测量实验，比较任意弹力，给予任意弹力测量值。这方法也可以给予任意万有引力、地球引力测量值。

假设一个弹簧被压缩一段距离，则经过上述测量实验，可以得知，安装在这弹簧末端的物体，会感受到的弹力 $F_{s}$ 为

$F_{s}=-kx$ ；

其中，$k$ 是弹簧常数，$x$ 是压缩距离。

假设质量分别为 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的两个物体A、B之间的距离为 $r$ ，则经过上述测量实验，可以得知，物体B施加于物体A的万有引力 $F_{G}$ 为

$F_{G}=-G{\frac {m_{A}m_{B}}{r^{2}}}$ ；

其中，$G$ 是万有引力常数。

假设在地球表面有一质量 $m$ 为的物体，则经过上述测量实验，可以得知，这物体感受到的地球引力 $F_{g}$ 为

$F_{g}=mg$ ；

其中，$g$ 是重力加速度。

冲量

假设施加外力 $\mathbf {F}$ 于某物体的时间有 $\Delta t$ 那么久，则这等于施加冲量 $\mathbf {J}$ 于此物体：

$\mathbf {J} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t$ 。

根据现代的第二定律，

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 。

经过 $\Delta t$ ，假定质量不变，动量 $\mathbf {p}$ 的改变为

$\Delta \mathbf {p} =m\Delta \mathbf {v} =m\int _{\Delta t}\mathbf {a} \,\mathrm {d} t=\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t$ 。

所以，冲量与动量之间的关系式为

$\mathbf {J} =\Delta \mathbf {p}$ 。

这就是原版第二定律。

冲量的概念时常被用来分析碰撞与撞击问题。 冲量亦是向量的一种

可变质量系统

火箭的燃料经过燃烧以后，会产生高温高压气体，经过加速排气到外界，就可以推动火箭前进。这种可变质量系统不是封闭系统，不能直接应用第二定律。因为，基本而言，第二定律只能应用于粒子（或理想化为粒子的物体）。对于多粒子系统案例，必需将第二定律加以延伸为

$\mathbf {F} _{\mathrm {net} }=M\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$ ；

其中，$\mathbf {F} _{\mathrm {net} }$ 是施加于系统的合外力，$M$ 是系统的总质量，$\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$ 是系统质心的加速度。

对于像火箭一类的可变质量系统，必需将第二定律的方程添加一个项目，这项目专门计算进入或离开火箭的质量所带有的动量：

$\mathbf {F} _{g}+\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$；

其中，$\mathbf {F} _{g}$ 是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的重力，$\mathbf {u}$ 是从火箭观测的排出气体的相对速度，$m$ 是火箭的质量，$\mathbf {v}$ 是火箭的速度（相对于发射台参考系）。

火箭的推力定义为

$\mathbf {F} _{t}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$ 。

将这定义式代入，可以得到

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

其中，$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{g}+\mathbf {F} _{t}$ 是外力与推力的向量和。

参阅

麻省理工学院物理教授瓦尔特·列文（Walter Lewin）讲解牛顿第二定律。 (MIT OCW)

• 伊萨克·牛顿
• 牛顿运动定律
  • 牛顿第一定律
  • 牛顿第二定律
  • 牛顿第三定律
• 物理学定律列表

参考文献

• Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc., 1988, ISBN 0-486-65632-2 
• French, Anthony, Newtonian Mechanics, 1971 
• Newton, Isaac, Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy, New York: Daniel Adee, 1846 （请上网阅读作者Andrew Motte的英文翻译。）