傅科摆 钟摆原理 摆 是一种实验仪器，可用来展现种种力学现象。最基本的摆由一条绳 或竿，和一个锤组成。锤系在绳的下方，绳的另一端固定。当推动摆时，锤来回移动。摆可以作一个计时器。
小角度简单摆 [ 编辑 ] 若最高处（
v
=
0
{\displaystyle v=0}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
≤
5
∘
{\displaystyle \theta \leq 5^{\circ }}
则可使用下列公式算出它的振动周期 。
周期公式 [ 编辑 ]
T
=
2
π
L
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
L
{\displaystyle L}
g
{\displaystyle g}
一摆长为
1
{\displaystyle 1}
简谐运动 ，周期
T
≈
2.0
s
{\displaystyle T\approx 2.0s}
秒摆 。
公式证明 [ 编辑 ] 一单摆摆锤正在摆荡最高处(此时
v
=
0
{\displaystyle v=0}
θ
{\displaystyle \theta }
L
{\displaystyle L}
x
{\displaystyle x}
此物体受下列力的影响（下列说明错误，绳子的张力是因为摆锤重力引起，任何一瞬间摆锤法向（径向）合力为零，但切线加速度为
−
g
sin
θ
{\displaystyle -g\sin \theta }
绳子之拉力大小
F
{\displaystyle F}
重力大小
F
g
=
m
g
{\displaystyle F_{g}=mg}
绳子的拉力
F
{\displaystyle F}
F
cos
θ
=
m
g
{\displaystyle F\cos \theta =mg}
F
sin
θ
=
k
x
{\displaystyle F\sin \theta =kx}
∵
lim
θ
→
0
cos
θ
=
1
{\displaystyle \because {\underset {\theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\cos \theta =1}
∴
F
≈
m
G
g
{\displaystyle \therefore F\approx m_{G}g}
F
sin
θ
=
m
G
g
(
x
L
)
=
k
x
{\displaystyle F\sin {\theta }=m_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx}
k
=
m
G
g
L
{\displaystyle k={\frac {m_{G}g}{L}}}
代入
T
=
2
π
m
I
k
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}}{k}}}}
得到
T
=
2
π
m
I
L
m
G
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}L}{m_{G}g}}}}
根据广义相对论 可知，
m
I
=
m
G
{\displaystyle m_{I}=m_{G}\,}
故
T
=
2
π
L
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
sin θ 取为θ的误差。 “
单摆 ”重定向至此。
取
L
{\displaystyle L}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
θ
{\displaystyle \theta }
m
{\displaystyle m}
θ
¨
{\displaystyle {\ddot {\theta }}}
α
=
d
2
θ
d
t
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}
忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响：
锤速率最高是在
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
运动方程为：
m
L
θ
¨
=
−
m
g
sin
θ
{\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta }
注意到不论θ 的值为何，运动周期和锤的质量无关。
当
θ
{\displaystyle \theta }
sin
θ
≈
θ
{\displaystyle \sin \theta \approx \theta }
简谐运动 ，周期
T
=
2
π
L
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
准确的运动周期不可以用基础函数求得。考虑微分方程：
d
t
d
θ
=
1
2
L
g
1
cos
θ
−
cos
θ
0
{\displaystyle {{\rm {d}}t \over {\rm {d}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}
T
=
θ
0
→
0
→
−
θ
0
→
0
→
θ
0
=
4
(
θ
0
→
0
)
{\displaystyle T=\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}=4\left(\theta _{0}\rightarrow 0\right)}
T
=
4
1
2
L
g
∫
0
θ
0
1
cos
θ
−
cos
θ
0
d
θ
{\displaystyle T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,{\rm {d}}\theta }
将上式重写成第一类椭圆函数 的形式：
T
=
4
L
g
F
(
sin
θ
0
2
,
π
2
)
{\displaystyle T=4{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}F\left({\sin {\theta _{0} \over 2}},{\pi \over 2}\right)}
其中
F
(
k
,
ϕ
)
=
∫
0
ϕ
1
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
.
{\displaystyle F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{\rm {d}}\theta .}
周期可以用级数表示成：
T
=
2
π
L
g
[
1
+
(
1
2
)
2
sin
2
θ
0
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
sin
4
θ
0
2
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
sin
6
θ
0
2
+
⋯
]
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]}
=
2
π
L
g
(
1
+
1
16
θ
0
2
+
11
3072
θ
0
4
+
⋯
)
=
2
π
L
g
[
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
2
sin
2
n
(
θ
0
2
)
]
{\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]}
冲击摆 [ 编辑 ] 冲击摆是来用计算子弹速度的实验室仪器。它的原理为：物件碰撞前后动量守恒 ，摆运动时能量守恒 。
冲击摆和普通摆相似，特别之处它的锤会和射入子弹产生完全非弹性碰撞，即碰撞后两者会合为一。
将子弹射向停止的锤，使锤和子弹合在一起摆动。设锤质量为
m
p
{\displaystyle m_{p}\,}
m
b
{\displaystyle m_{b}\,}
v ，锤和子弹碰撞后的速度为u 。
以下是子弹速度的计算方法：
由动量守恒定律 ，
m
b
×
v
+
m
p
×
0
=
(
m
b
+
m
p
)
×
u
{\displaystyle m_{b}\times v+m_{p}\times 0=(m_{b}+m_{p})\times u}
由能量守恒定律 ，
1
2
(
m
b
+
m
p
)
u
2
=
(
m
b
+
m
p
)
g
h
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{b}+m_{p})u^{2}=(m_{b}+m_{p})gh}
解得
v
=
(
m
b
+
m
p
)
2
g
h
m
b
{\displaystyle v={\frac {(m_{b}+m_{p}){\sqrt {2gh}}}{m_{b}}}}
倒单摆 [ 编辑 ] 和台车和倒单摆组成的系统 倒单摆有许多不同的架构，常见的有二种。
最简单的是无质量的直杆一端接在固定的枢纽上，另一端连结重量，此架构类似一般单摆，但因为重量在枢纽点上方，直杆在重量下方，需支持重物不落下，因此会将单摆的线改为有刚性的直杆。
另外一种是将倒单摆放在可以一维水平运动的台车上，透过台车的水平运动来控制摆的位置。
倒单摆在摆直立朝上时可以平衡，不过是不稳定平衡，需要透过控制系统才能维持平衡。
圆锥摆 [ 编辑 ] 圆锥 面。这是圆周运动 。
复摆（物理摆/compound pendulum) [ 编辑 ] “
复摆 ”重定向至此。
当质量不集中或不规则的物体以转轴吊起摆动时，此摆称作复摆（物理摆）。由于有质量分布的缘故，周期跟刚性物体重心对转轴的转动惯量（I）有关。根据平行轴定理及可以求出小角度复摆周期为
T
=
2
π
I
m
g
d
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}
双摆(complex pendulum/double pendulum) [ 编辑 ] 双摆系统的一例 双摆系统是混沌的。
磁性摆 [ 编辑 ] 和双摆一样，磁性摆系统是混沌的。
傅科摆 [ 编辑 ] 傅科摆的移动可作为地球自转的证据。
摆钟。
为了减少温度变化的影响，有不同的设计：
栅形补偿摆（Gridiron Pendulum）：以不同金属（钢和铜）配搭，保持摆的长度不变[1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
Graham's pendulum：有一个水银管柱，保持摆的重心不变
以木制摆[2] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
Ellicott compensated pendulum：用多个摆的结构配合 Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005 
“单摆”重定向至此。
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89530b6d177974d59c72066989d56d5a339d1442)
![{\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc6b231c69b842d48ad60dc442655ae5e41603d)
