循环连分数是一种可表示为以下形式的连分数:
前k+1个部分分母不算,后面的部分分母[ak+1, ak+2,…ak+m]会一直重复出现。例如 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 即可表示为循环连分数[1,2,2,2,...]。
循环连分数的部分分母{ai}可以是任何实数或虚数。
1770年,拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数,当且仅当此数为二次无理数[1]。例如 3 = 1.732 … = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] {\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]} 。