建立曲线族的包络线。
包络线(Envelope)是几何学里的概念,代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。(曲线族即一些曲线的无穷集,它们有一些特定的关系。)
设一个曲线族的每条曲线
可表示为
,其中
是曲线族的参数,
是特定曲线的参数。若包络线存在,它是由
得出,其中
以以下的方程求得:
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35afeec39ce6eb515084376fbf742f6c5f0091f7)
若曲线族以隐函数形式
表示,其包络线的隐方程,便是求下面两个方程的解x和y之隐函数关系。
![{\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d4db8b111d0c49b81196d7f439484a2b9d1df)
绣曲线是包络线的例子。直线族
(其中
是常数,
是直线族的变数)的包络线为抛物线。[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
设曲线族的每条曲线
为
。
设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切,对于任意的
,设
表示
和包络线相切的那点。由此式可见,
是包络线的变数。要求出包络线,就即要求出
。
在
的切向量为
,其中
。
在E的切向量为
。因为
是
和
的函数,而此处
,局部求导有:
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3192a3f75307a1e8686653e9507327fb7d68a522)
类似地得
。
因为
和
在该点相切,因此其切向量应平行,故有
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff1b9e6212ac772feb1209ce637f77843667ccc)
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a20cf2e7e177351d0538fd9c3314dea8e2a788a)
其中
。可用此两式消去
。整理后得:
外部链接[编辑]