讨论:直线

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欧氏几何中，两点确定一条直线怎么证？[编辑]

from Wikipedia:互助客栈/其他

换言之，过两点为什么不能作两条以上的直线，也不会出现一条直线也不能作的情况？

谢了。

--Whw 06:33 2006年5月19日 (UTC)

相异两点决定一直线是欧几里得几何的公理（axiom），不需要证明。--百楽兔 07:09 2006年5月19日 (UTC)
在欧氏几何中是公理。但是如果没有这个前提条件呢。--用心阁（对话页） 07:18 2006年5月19日 (UTC)
在黎曼几何中，可以画无数条直线。--方洪渐 08:06 2006年5月19日 (UTC)
刚刚才发现咱们WP上就有欧几里得几何的条目了嘛，大家在编写条目之余，应该也要爱用咱们的WP--百楽兔 10:34 2006年5月19日 (UTC)

谢谢诸位帮助。

可是我看了欧几里得几何条目，文中所描述的第一条公理只肯定了我的问题的后半部分，却没有回答“过两点为什么不能作两条以上的直线”呀？

大致是这样的，不严密：
  • 直线为两点间最短的连线：若直线a、b均为连接点A、B的直线，则A、B在a上的距离a(A, B)小于等于A、B在b上的距离b(A, B)；同理b(A, B)小于等于a(A, B)，就得到了a、b为同一条直线。--Isnow 14:22 2006年5月19日 (UTC)


另外，如何证明三点确定一个平面呢？难道又是立体几何的公理吗？--Whw 11:27 2006年5月19日 (UTC)

请参见平面的定义：“平面是这样一个点的集合：对这个集合中任意的三个点，这个集合包含这三个点中的两个所确定的直线”。--Isnow 14:41 2006年5月19日 (UTC)
相异三点可决定一平面用反证法就可以得证，只要引导出违反公理的结论即可。--百楽兔 15:38 2006年5月19日 (UTC)
事实上，这些都可以是公理，也可以是定理。这取决于你选择哪些命题作为公理了。根据选择的公理不同，你的命题就会有不同的证明方法。--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)
同意地球发动机的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)
不行吧。公理是不证自明的原则，定理是可以利用公理来证明的。把定理当做公理会违背逻辑，因为推导出的系统只是一个子系，意即还是属于同一个架构下。--百楽兔 02:35 2006年5月20日 (UTC)
现代元数学认为，没有什么不证自明的原则。公理系统里面的公理只是从大量的命题中选择出一些作为我们推理的基础而已。如果把定理作为公理而取消原先的某条公理，常常会导致公理系统被减弱，这些变化在模型论里面是主要研究的对象。参见选择公理、连续统假设--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)
不是很了解你的意思，不过感觉我们是在讲不同的两回事。像这题，既然前提是“在欧氏几何的架构”下，就不可能去推翻欧氏几何所定下的公理吧。--百楽兔 06:06 2006年5月20日 (UTC)
简单讲，地球兄的意思就是同样“欧氏几何的架构”可以有不同的定义，可以挑选不同的命题作为基本公理集。所谓公理无非就是被挑选为基本假设的命题。每个体系都可以有无数的选择，譬如，a,b,c都是这个系统中的命题，如果a等价于b等价于c,那么公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是导出同一体系的，但在第一种情况a就是公理，b,c是定理，而第二种，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)
这个逻辑和我是一致的，但问题是公理a会等价于定理b或c吗？通常定理是用到两个以上的公理所推导出来的，所以并不等价。虽然以宏观的角度来看，将所有的命题都视为可选择的公理是合理的，但是如果深入研究某公理后发现该公理可拆解出几个更基本的原则，此时该公理就降阶为定理，而更基本的原则就成了同一系统中的公理。我们好像离题越来越远了……(汗)--百楽兔 01:35 2006年5月21日 (UTC)
"公理a会等价于定理b或c吗"？这是可能的。比如当你选择a为公理时，利用公理a和x能推导出b，但如果同样假设b为公理，利用b和公理x能推导出a，那么，a与b就是等价的。a与b(或其它等价的命题)中选择其中任何一个作为公理，构建的体系是等同的。— fdcn  talk  2006年05月21日19:27 (UTC+8 03:27)
公理说"任意两个点可以通过一条直线连接。", 这没有错阿,公理没有说过"过两点为什么不能作两条以上的直线"这回事...2个点只会有1条直线,没有人说过超过2个点会怎么怎么的,公理说的是"两点确定一条直线",所以你问题的"过两点"巳经不在公理的范畴内了!--Onsf 20:13 2006年5月27日 (UTC)
这条公理是"过两点有且只有一条直线"。直线不是线段，他没有端点，不可能起到"连接"的作用。另外，公理中的"过"不是指超过两个点以上的更多点，而是有"穿过"、"通过"的意思，所谓"过两点"完全是公理内的范畴。天下第一菜请指教 2007年6月13日 (三) 05:33 (UTC)[回复]

对"线"的重定向异议[编辑]

条目线指向此页直线的重定向是否不妥？这样子线便仅有几何学意义了。--天下第一菜 2007年6月13日 (三) 03:42 (UTC)[回复]

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