e进位

e进制是以自然对数的底数——e作为进位制底数的进制。类似于三进制，通常使用0、1、2三个数字来表达，但由于除了0、1和2之外大部分的整数在e进制中皆需要用无穷小数来表示，因此不是一个实用的进位制，但在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制。

性质

在e进制中，自然对数的行为与十进制中的常用对数类似，例如：

$\ln 1_{\left(e\right)}=0$

$\ln 10_{\left(e\right)}=1$

$\ln 100_{\left(e\right)}=2$

$\ln 1000_{\left(e\right)}=3$

e进制效率

在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制。

当一个数用$x$进位（$x>0,x\in \mathbb {R}$）表达时，每个位数需要$x$种符号表达，若要表达一个n位数字要储存的元素$N(x)$ ：

$N(x)=nx$

而$x$进制系统中表示的n位数的信息量$I$（$I>x$）则有：

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$

因此，在$x$进制系统中以n位数能表示I的信息量所需的存储元素数$N(x)$为：

$N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}$

在

${\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}$

之下，求出哪个$x$能使$N(x)$最小即可， 即找到能使$N(x)$微分为0的$x$。

${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

在$\ln x=1$时$N^{\prime }(x)$有根$N^{\prime }(x)=0$，

解得$x=e$

因此解得以$e$为底的进位制理论上能有最高的表达效率。

与其他进制比较

e进制中，除了0、1和2之外，其他整数皆需要以无穷不循环小数来表达，其中整数部分可透过贪婪算法找出。

部分的e进制数

十进制	二进制	e进制	三进制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下：

• $\color {blue}\pi$ ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS数列A050948）
• $\color {blue}e$ = 10_(e)（在此记数系统为整数）
• $\color {blue}{\sqrt {2}}$ ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• $\color {blue}\varphi$ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS数列A105166）

参见

• e (数学常数)
• 广义的进位制
• 三进制

参考文献

1. 伊东规之‘マイクロコンピュータの基础’日本理工出版会
2. 桜井进‘超・超面白くて眠れなくなる数学’PHP研究所