施瓦茨-米尔诺(Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor[1])引理,是数学上的一个结果,给出了群和在度量空间上的群作用的关系。阿尔伯特·施瓦茨首先发现这个结果,十数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。[2]有了这条引理,就可以由度量空间的几何性质,来研究群的性质。
设X为一个度量空间。如果X每两点都有测地线相连,就称X为测地的。
如果X中每一个闭球都是紧致集,就称X为常态的。考虑X中从某点
量度距离的函数
![{\displaystyle d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98211a7eecd6928d40d14ef8429c19a08ad1f772)
那么闭球
是紧致区间[0,a]在
下的原像。因此,闭球都是紧致集这个条件,便等价于所有形如
的距离函数都是常态映射。这就是称度量空间X为常态的原因。
一个群G在X上的群作用称为真不连续的,如果对每个紧致集
,G中只有有限个元素g,使得
。这个群作用称为余紧的,如果存在一个紧致集
,使得
。
引理叙述[编辑]
设X为一个常态测地度量空间。如果一个群G以等距映射真不连续地、余紧地作用在X上,那么G是有限生成群。而且G中用一个有限生成集合S赋予G以字度量后,和X拟等距同构;对于X的任何一点
,映射
都是从G到X的拟等距映射。
G中任何有限生成集合所对应的字度量,都是拟等距同构。故此只需找到一个有限生成集合S,证明在G上取对应S的字度量后,和X是拟等距同构即可。
选定
。因为群作用是余紧的,存在
,使得
在G的作用下覆盖X。
取G的一个子集
![{\displaystyle S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03defd646409d4b2a332809282e873e074e9ca71)
G的元素g若在子集S内,则有
![{\displaystyle g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb7b1b8826a1c771a23349f5511464e2eeb2339)
X是常态度量空间,故
是紧致集,又因群作用是真不连续的,所以这样的g仅有有限个。因此S是有限集。
对G中任何非平凡元素g,有一条测地线段连接两点
和
。设k为整数,符合
![{\displaystyle k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270713f630d8e4c5dfe45c503252c07c583e59f3)
在这条测地线段上取点
,j=1,..., k+1,满足
。
对每一点
,都存在G中的元素
,使得
。可指定
,
。如果
,则有
,因为
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d_{X}(x_{0},g_{j-1}^{-1}g_{j}\cdot x_{0})\\=&d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},g_{j}\cdot x_{0})\\\leq &d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},x_{j-1})+d_{X}(x_{j-1},x_{j})+d_{X}(x_{j},g_{j}\cdot x_{0})\\<&r+1+r=2r+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25b669dd28f4afeb2a0d7c9a3499cb013bfebc)
由此得出g是由最多k+1个S的元素的积。因此S是G的生成集合,而且对所有g都有
![{\displaystyle d_{S}(e,g)\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb4c2673fbe89a3ab08c94194d4269ee7854cda)
取
,用三角不等式得出
![{\displaystyle d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(e,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8e6fdbacfbaef965e5620bc47ddf4a784594c)
对任何
,有
![{\displaystyle d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})=d_{X}(x_{0},g^{-1}h\cdot x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a01e8d8ff22b9953504c06141e5994c1048bd6b)
![{\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(e,g^{-1}h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5845dc023d3d2a43ad237e9cd8f3cce4b596e4f)
故此从以上两条不等式可以得出
![{\displaystyle d_{S}(g,h)-1\leq d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(g,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bcff44c703dd1169737fb738691958a2f49200)
而且X中每一点x都距离某个
不超过r,所以
是拟等距映射,G和X是拟等距同构。
注释和参考[编辑]