等諧數列

等諧數列，又名調和數列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是數列的一種。在等諧數列中，任何相鄰兩項倒數的差相等，該差值的倒數稱為公諧差（common harmonic difference）。

例如數列：

¹/₃ , ¹/₅ , ¹/₇ , ¹/₉ , ¹/₁₁ , ¹/₁₃ , ...

就是一個等諧數列。 在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公諧差都等於 ¹/₂。

性質

如果一個等諧數列的首項記作 a，公諧差記作 h，那麼該等諧數列第 n 項 a_n 的一般項為：

$a_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}$

換句話說，任意一個等諧數列 {a_n} 都可以寫成

$\{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}$

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 a_n+1 和 a_n ，可知公諧差

$h={\frac {1}{{\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

給定任意兩項 a_m 和 a_n ，則有公諧差

$h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a_{m}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

此外，在一個等諧數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{3}}}={\frac {2}{a_{2}}}$。

更一般地說，有：

${\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

證明如下：

${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a_{n}}}\\\end{aligned}}$

證畢。

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

$a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}}}$

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那麼則有：

${\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}$

證明如下：

${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}\\\end{aligned}}$

由此可將上面的性質一般化成：

${\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

$a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}}}$

其中 k 是一個小於 n 的正整數。

給定一個等諧數列 $\{a_{n}\}$，則有：

• $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等諧數列。
• $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等差數列。

等諧數列和

一個等諧數列的首 n 項之和，稱為等諧數列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 S_n。

舉例來說，等諧數列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} 的和是 ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₉ = ²⁴⁸/₃₁₅。

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

$S_{n}=a\int _{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x$

公式證明如下：

${\begin{aligned}S_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]_{x=0}^{x=1}\\&=a\int _{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

使用上面的例子，對於數列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} ：

${\begin{aligned}S_{4}&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}$

結果相等。

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

等諧數列積

一個等諧數列的首 n 項之積，稱為等諧數列積（product of harmonic sequence），記作 P_n。

舉例來說，等諧數列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} 的積是 ¹/₃ × ¹/₅ × ¹/₇ × ¹/₉ = ¹/₉₄₅。

等諧數列積的公式可以Γ函數表示：

$P_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}$

證明如下：

${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}$

這裏使用了等差數列的求積公式。

使用上面的例子，對於數列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} ：

${\begin{aligned}P_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}$

結果相等。

參見

• 序列
• 數列
• 級數
• 調和級數
• 調和平均
• 等差數列
• 等比數列

參考文獻

• Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.