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波爾文積分

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波爾文積分(英語:Borwein integral)是一種由波爾文父子發現的性質特殊的積分,常用於作為看似存在的數學規律最終失效的例子。2001年,大衛·波爾文喬納森·波爾文英語Jonathan Borwein共同發表了這個涉及sinc函數的積分[1]

常見的例子為:

這種規律一直到

都是成立的。

但是到了下一個數,這個規律就突然失效了:

公式

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對於給定的一系列非零實數,即,可以給出的封閉公式形式。為了計算這個公式,其中需要做的就是計算含有相關的量之和。特別的,設即由構成的元組,於是可以寫成即有關的各種加減形式的總和,並且令(其結果為)。基於上述定義,可以得到該積分的值為:

其中:

在這裏如果,那麼有

進一步地,如果存在一個對於每個總有成立,並且有,即為首次超過的前幾項之和時的元素數量,即當時有,但在其他情況時:

在這裏令,即當,此時但是,又由於,於是該公式成立(並且移去其中任何因子也成立):

但在另一方面,則有:

即與前面給出的公式的結果相同。

參考資料

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  1. ^ Borwein, David; Borwein, Jonathan M., Some remarkable properties of sinc and related integrals [sinc函數及其相關積分的一些引人注意的性質], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 (英語)