在數論中,二次剩餘的歐拉判別法(又稱歐拉準則)是用來判定給定的整數是否是一個質數的二次剩餘。
若
是奇質數且
不能整除
,則:
是模
的二次剩餘若且唯若:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
是模
的非二次剩餘若且唯若:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7379bad3d1f0af0228c293f5179398426161e4)
以勒讓德符號表示,即為:
例子一:對於給定數,尋找其為二次剩餘的模數[編輯]
令
。對於怎樣的質數
,17是模
的二次剩餘呢?
根據判別法里給出的準則,我們可以從小的質數開始檢驗。
首先測試
。我們有:
,因此17不是模3的二次剩餘。
再來測試
。我們有:
,因此17是模13的二次剩餘。實際上我們有:
,而
.
運用同餘性質和勒讓德符號可以加快檢驗速度。繼續算下去,可以得到:
- 對於質數
(也就是說17是模這些質數的二次剩餘)。
- 對於質數
(也就是說17是模這些質數的二次非剩餘)。
例子二:對指定的質數p,尋找其二次剩餘[編輯]
哪些數是模17的二次剩餘?
我們可以手工計算:
![{\displaystyle 1^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe56b7b4e734807a58e2b652343c06252fe8e736)
![{\displaystyle 2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544566e539538b9b5d5f9106712550b2c80da685)
![{\displaystyle 3^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce3bb0717e9aa3fd7c54d6676a7a7fe15e78e66)
![{\displaystyle 4^{2}=16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891f0a31ba5eed6c31d8879cd3aa3aa66ecd2ea4)
![{\displaystyle 5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f36a0f6ca294ca60f59ed6da9e1b70180237f7c)
![{\displaystyle 6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9b077fc0cf5b1555599d97ec737bfc34d116ea)
![{\displaystyle 7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286d73875b48f4c496fdc6b40af7d2e2c7e7e4af)
![{\displaystyle 8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294f5c9e7d668bf132f686a3c0e919a41e103813)
於是得到:所有模17的二次剩餘的集合是
。要注意的是我們只需要算到8,因為
,9的平方與8的平方模17是同餘的:
.(同理不需計算比9大的數)。
但是對於驗證一個數是不是模17的二次剩餘,就不必將所有模17的二次剩餘全部算出。比如說要檢驗數字3是否是模17的二次剩餘,只需要計算
,然後由歐拉準則判定3不是模17的二次剩餘。
歐拉準則與高斯引理以及二次互反律有關,並且在定義歐拉-雅可比偽素數(見偽素數)時會用到。
首先,由於
是一個奇素數,由費馬小定理,
。但是
是一個偶數,所以有
![{\displaystyle (d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f732d673ad9beb694ad30725bd6630078890c6a)
是一個素數,所以
和
中必有一個是
的倍數。因此
模
的餘數必然是1或-1。
- 證明若
是模
的二次剩餘,則![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
若
是模
的二次剩餘,則存在
,
跟
互質。根據費馬小定理得:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1457aa6d80dccd292ecaa34a7e2cc66d3c76ddaa)
- 證明若
,則
是模
的二次剩餘
是一個奇素數,所以關於
的原根存在。設
是
的一個原根,則存在
使得
。於是
![{\displaystyle a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b440d41be3f24e1703611aa66fe5c450ddce4ffc)
是
的一個原根,因此
模
的指數是
,於是
整除
。這說明
是一個偶數。令
,就有
。
是模
的二次剩餘。
參考資料[編輯]
外部連結[編輯]