有界變差(英語:Bounded variation)是函數的一個性質,它指的是總變差為有限的函數。
有界變差的理論對黎曼-斯蒂爾傑斯積分有相當的用處。
設
,若一個定義於實數區間
上的函數
是有界變差函數,則存在一正數
,對任意在區間
上的(有限)分割
而言,有
。
另一個等價的定義為:定義一個跟函數
相關的量如下:
![{\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00efd1f7b8e3ea84d323c2f8e23fc869fb04c68f)
這裏的符號
代表在閉區間 [a, b] 上所有的(有限)分割。
為有界變差函數若且唯若
。
其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。
- 任意單調函數都是有界變差的。
- 設
在區間
上滿足Lipschitz條件,即存在常數
,使得對於任意
,有
,則
在
上是有界變差的。
- 若
在區間
上連續,且在區間的內部
可微,若對於任意在
定義域
的內部
的點
而言,存在一正實數
使得
,則
在
上是有界變差的。
- 若
在區間
上是有界變差的,則
在該區間上亦是有界的。
- 若
在區間
上是有界變差的,則其不連續點的數量是可數的。