序列

序列（英語：Sequences）在數學中是指被排成一列的數學實體（如數字、函數），其中常見的就是排成一列的數，即數列。

正式定義[編輯]

序列的定義

$S$ 是一個集合，那

函數 $f:\mathbb {N} \to S$ 被稱為「定義在 $S$ 上的 無窮序列」。而函數值 $f(i)$ 可簡記為 $f_{i}$ ，甚至函數 $f$ 本身也可記為 ${\{f_{i}\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 。

給定一個正整數 $n\in \mathbb {N}$ ，那函數 $g:\{1,\,2,...,\,n\}\to S$ 被稱為「定義在 $S$ 上的 有限序列」。通常將 $g(j)$ 簡記為 $g_{j}$ ，且 $g$ 本身也記為 ${\{g_{j}\}}_{j=1}^{n}$ 。

直觀上就是用數碼去標記一列數學實體（如數字、函數）。

例如，(C,Y,R)是一個字母的序列：順序是C第一，Y第二，R第三。序列可以是有限的（就像前面這個例子），也可以是無限的，就像所有正偶數的序列（2,4,6,...）。有限序列包含空序列（），它沒有元素。序列中的元素也稱為項，項的個數（可能是無限的）稱為序列的長度。

若序列的項屬於一個偏序集，則單調遞增序列就是其中每個項都大於等於之前的項；若每個項都嚴格大於之前的項，這個序列就是嚴格單調遞增的。類似可定義單調遞減序列。單調序列是單調函數的一個特例。

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}.

有限的序列稱為列表（lists）。有限的字符串序列稱為字符串（string）。無限的序列稱為字符串流（stream）。

Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄語）. （俄文）

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英語：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英語：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英語：function of several real variables） $X$ $X$ →（英語：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英語：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射滿射雙射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英語：Partial function）多值隱
閱論編