導來集

在數學，特別是點集拓撲學中，拓撲空間的子集 $S$ 的導來集（導出集合）是 $S$ 的所有極限點的集合。它通常記為 $S'$ 。

這個概念是格奧爾格·康托爾在1872年引入的，他開發集合論很大程度上就是為了研究在實直線上的導出集合。

導來集公理[編輯]

導來集是拓撲學的基礎概念之一，可以用來定義拓撲空間。給定集合 $X$ ，考慮一個定義在 $X$ 的冪集 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的運算 $d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ ，若 $d$ 滿足以下導來集公理，則稱 $d$ 為導集運算：

D₁： $d(\emptyset )=\emptyset$
D₂： $d(d(A))\subseteq d(A)\cup A$
D₃： $\forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})$
D₄： $d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)$

$d(A)$ 稱為 $A$ 的導來集。

從導來集出發可以定義各種拓撲的基礎概念：

閉集： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，當且僅當 $d(A)\subseteq A$ 。（從此處可以看到和閉集公理的等價性，從而可以等價地定義拓撲空間。）
同胚：拓撲空間 $T_{1}(X_{1},\tau _{1})$ 、 $T_{1}(X_{2},\tau _{2})$ 同胚，當且僅當存在對射 $f:{\mathcal {P}}(X_{1})\to {\mathcal {P}}(X_{2})$ ，使得 $\forall A\subseteq X_{1},\ f(d(A))=d(f(A))$ 。

性質[編輯]

$S,T\subseteq X$ ，若 $S\cap T=\emptyset$ ， $S\cap d(T)=\emptyset$ ， $d(S)\cap T=\emptyset$ 。則稱 $S$ 和 $T$ 是分離的。（注意： $d(S)\cap d(T)$ 不一定為 $\emptyset$ ）。
集合 $S$ 被定義為完美的，如果 $S=d(S)$ 。等價地說，完美集合是沒有孤點的閉集。完美集合又稱為完備集合。
Cantor-Bendixson定理聲稱任何波蘭空間都可以寫為可數集合和完美集合的併集。因為任何波蘭空間的 $G_{\delta }$ 子集都再次是波蘭空間，這個定理還證明了任何波蘭空間的 $G_{\delta }$ 子集都是可數集合和完美集合的併集。
拓撲空間 $X$ 是T₁ 空間，當且僅當 $\forall x\in X,\ d(\{x\})=\emptyset$ 。