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ECT理論-牛頓引力理論

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返回牛頓引力場中,粒子運動的拉格朗日量為:

其中 —粒子速度, —牛頓引力勢 粒子運動方程由最小作用量原理決定:

因此有:即:,這是牛頓引力場中的粒子運動方程。 考慮在牛頓引力場中無壓理想流體的運動,則拉格朗日量變為:

其中: —流體質量密度, —體積元。 牛頓引力場本身的拉格朗日量為:

同時考慮引力場和無壓理想流體,其總拉格朗日量為:

為了得到引力場的運動方程,只對取變分我們有:

,其中-包圍體積V的邊界

因此有引力場運動方程 。 這樣,我們有包含引力場和無壓理想流體的總拉格朗日密度為:

按照分析力學原理,我們有守恆量---哈密頓量(其中:)為:

其中代表理想流體引力場的相互作用能,可以將它歸為理想流體能量,也可以把它歸為引力場的能量,我們現在把它歸為引力場的能量,這時需要從引力場運動方程解出:,代入上式得:

其中: 為包圍體積V邊界。體積V是全空間。 一般我們考慮有限區域的理想流體引力場的情況,這時邊界是無限遠處,無限遠處的邊界條件是 ,其積 ,因此 .考慮到有限區域的理想流體和引力場以及邊界條件,我們有:

在分析力學中我們稱哈密頓量能量,因此又可寫為:

哈密頓量是守恆量即 也即 。 從上面的結果我們看到: 代表理想流體動能密度代表引力能密度 ,這時我們看到總能量密度,引力能貢獻的是負能。當然,如果將相互作用能歸為理想流體的能量,則引力能貢獻的是正能,數值仍然是返回