高斯-博內定理
外觀
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在微分幾何中,高斯-博內定理(亦稱高斯-博內公式)是關於曲面的圖形(由曲率表徵)和拓撲(由歐拉示性數表徵)間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯和皮埃爾·奧西安·博內命名的,前者發現了定理的一個版本但從未發表,後者1848年發表了該定理的一個特例。
定理內容[編輯]
設是一個緊的二維黎曼流形,是其邊界。令為的高斯曲率,為的測地曲率。則有
其中dA是該曲面的面積元,ds是M邊界的線元。此處是的歐拉示性數。
如果的邊界是分段光滑的,我們將視作光滑部分相應的積分之和,加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。