沙普利-福克曼引理

此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。

沙普利-福克曼引理是凸幾何的一條引理，其於數理經濟學有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數$0$和$1$組成的集合，與自身相加，得到由$0,\ 1,\ 2$組成的集合，以符號可寫成：

$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2\}.$

「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的線段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 $\bullet$ 為凸集，但圓 $\circ$ 則不然，因為連接相異兩點的線段 $\oslash$ 並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。

沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合$Q$的凸包，是包含$Q$的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數$D$及求和項的形狀，但不取決於求和的項數$N$，而只需$N>D$。只要其中$D$個求和項的形狀，就足以確定$N$個集合的閔可夫斯基平均集

${\frac {1}{N}}\left(Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}\right)$

與其凸包的距離的上界。當$N$趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推論將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。

勞埃德·沙普利和強·福克曼的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿羅門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集」，除以上得主着重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康托羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都着重。

沙普利-福克曼引理在優化論和概率論皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函數之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明隨機集的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。

簡單例子

考慮凸的實數區間$[0,1]$，其包含整數子集$\{0,1\}$，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合$\{0,1\}$，複製成三份，並按元素求和，得到

$\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2,3\}.$

（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間$[0,3]$。

區間$[0,3]$中，每個數$x$都可以寫成區間$[0,1]$中某三個實數（允許重複）之和，例如將$x$等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論：$[0,3]$的每個數，都可以寫成$\{0,1\}$中某兩個整數（允許重複），與$[0,1]$中某一個實數之和。

凸包$[0,1]$中的點，到$\{0,1\}$的距離，至多為$1/2$：

${\frac {1}{2}}=\left|{\frac {1}{2}}-0\right|=\left|{\frac {1}{2}}-1\right|,$

然而，考慮三個區間$[0,1]$的閔氏平均

${\frac {1}{3}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\left\{0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},\ 1\right\},$

與其凸包$[0,1]$的距離，僅為$1/6$，即未平均前$\{0,1\}$與$[0,1]$距離（$1/2$）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利-福克曼定理的結論。

前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何的若干定義和定理，本節將作簡介。

實向量空間

二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為$x,\ y$。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}).$

此外，點也可以逐個坐標與實數$\lambda$相乘：

$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y).$

更一般而言，任何$D$維（有限維）實向量空間，均可視為$D$個實數組成的D元組的集合$\{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{D})\}$，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。

凸集

凸集$Q$中，連接任意兩點的線段仍是$Q$的子集。

非凸集$Q$中，連接某兩點的線段上，有一點不再是$Q$的元素。

用線段可以檢驗某集合是否凸集。

實向量空間中，非空子集$Q$稱為凸集，意思是，對於$Q$的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在$Q$中。例如，實心圓盤 $\bullet$ 為凸，但圓 $\circ$ 則不然，因為連接相異兩點的線段 $\oslash$ 並不是圓的子集。三個整數的集合$\{0,1,2\}$非凸，但其為區間$[0,2]$的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形，則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是空真命題。

更嚴謹而言，集合$Q$稱為凸，意思是，對$Q$中任意兩點$v_{0},v_{1}$，和單位區間$[0,1]$中的任意實數$\lambda$，點

$(1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}$

仍是$Q$的元素。

由數學歸納法，集合$Q$為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在$Q$中。所謂向量空間子集$\{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{D}\}$的凸組合，是其元素的任意加權平均$\lambda _{0}v_{0}+\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{D}v_{D}$，而各$\lambda _{i}$可以是總和為$1$的任意非負實數，即只需$\lambda _{0}+\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{D}=1$。

凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。

凸包

紅色集的凸包中，每個藍點都是若干個紅點的凸組合。

對於實向量空間的每個子集$Q$，其凸包$\mathrm {Conv} (Q)$是包含$Q$的最小凸集。所以，$\mathrm {Conv} (Q)$是所有覆蓋$Q$的凸集的交。等價地，可以將$\mathrm {Conv} (Q)$定義成$Q$的點的所有凸組合的集合。作為例子，整數集合$\{0,1\}$的凸包，是實數閉區間$[0,1]$，其兩端為原有的整數$0,1$。單位圓的凸包則是閉單位圓盤，其包含單位圓。

閔可夫斯基和

集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形$Q_{1}=[0,1]^{2}$和$Q_{2}=[1,2]^{2}$的和，是大正方形$Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}$。

在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）$X$中，兩個非空子集$A,B\subseteq X$的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 $A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}$（參見)。例如：

$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.$

此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果$\sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}$。由數學歸納法，可見

$\sum _{n=1}^{N}Q_{n}=\left\{\left.\sum _{n=1}^{N}q_{n}\right|q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.$

閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間$X$的任意子集$A,B\subseteq X$，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之，

$\mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).$

故由數學歸納法得

$\mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})$

對任意$N\in \mathbb {N}$和非空子集$Q_{n}\subseteq X$（$1\leq n\leq N$）成立。

各命題的敍述

閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點，組成左圖四個非凸集的閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。

由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點$x\in \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)$，都存在各凸包的$q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})$（$n$取遍$1$至$N$），使得$\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)=x$。各點$q_{n}(x)$的位置取決於$x$。

引理

勞埃德·沙普利，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與強·福克曼一同證明沙普利-福克曼引理。

有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言，$x$的表示法

$x=\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)$

中，僅需要不多於$D$個被加項$q_{n}(x)$取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合$Q_{n}$。以符號復述，即有以上方法表示$x$，且滿足$|\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D$。不妨將下標重新排序，然後就有

$x=\sum _{n=1}^{D}q_{n}(x)+\sum _{n=D+1}^{N}q_{n}(x)$

其中對$1\leq n\leq D$，有$q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})$，而對$D+1\leq n\leq N$，則有$q_{n}\in Q_{n}$。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點$x$。再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成

$\mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq \bigcup _{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})+\sum _{n\notin I}Q_{n}.$

舉例，集合$[0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})$中的每個點，根據引理，必定可以寫成$\{0,1\}$的某個元素，與$[0,1]$的某個元素之和。

實向量空間的維數

反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數$D$滿足引理的結論，但對小於$D$的數不滿足，則其維數恰好為$D$。引理僅對有限維向量空間成立。

沙普利-福克曼定理及斯塔的推論

某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。

沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：

凸化和$\mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)$的任一點，到（未凸化）和集$\sum Q_{n}$的歐氏距離平方，不超過各集合$Q_{n}$的外接半徑中，最大$D$個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數$N$無關（但要求$N>D$，且集合不能越來越大）。

上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數$D$及各被加項的形狀，但只要$N>D$，就不取決於項數$N$。

通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合$Q_{n}$的內半徑定義為：

最小的正實數$r$，滿足：若$q$在$Q_{n}$凸包中，則$q$在$Q_{n}$若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為$r$的球內。

斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：

沙普利-福克曼定理的斯塔推論：

凸化和$\mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)$的任一點，到（未凸化）和集$\sum Q_{n}$的歐氏距離平方，不超過各集合$Q_{n}$的內半徑中，最大$D$個的平方和。

斯塔的推論確定，$N$個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於$D$個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數$N$（假設$N>D$）。

例如，非凸集$\{0,1,2\}$的非凸度為$1/2$，因為與其凸包（區間$[0,2]$）的距離為

${\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.$

所以，既然$\sum Q_{n}$的非凸度有不取決於項數$N$的上界，就知平均集

${\frac {1}{N}}\left(\sum Q_{n}\right)$

非凸度上界，會隨$N$增加而遞減。例如，平均集

${\frac {1}{2}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\{0,\ 1/2,\ 1\}$

和其凸包$[0,1]$的距離僅為$1/4$，等於被加項$\{0,1\}$與其凸包$[0,1]$的距離（$1/2$）之半。僅要最大$D$個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以$N$後，平均集與凸包的距離，在$N$趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。

證明和計算

沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、蓋士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博賽卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。

應用

有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最優化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

經濟學

消費者偏好位於無差異曲線$I_{3}$上的任意籃子，勝過位於$I_{2}$上的籃子。籃子$(Q_{x},Q_{y})$，是預算線（藍色）支撐$I_{2}$的位置，所以是最優而又可行。相反，雖然消費者更偏好$I_{3}$上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。

參見：經濟學中的凸集

經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族無差異曲線，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。

如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。

非凸偏好

若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。

參見：非凸集 (經濟學)

然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（獅鷲）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。

若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：

若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。

瓦爾特·迪韋爾特書中，稱赫爾曼·沃爾德有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」。

儘管有上述困難，《政治經濟期刊》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴托爾、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使勞埃德·沙普利和馬丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了羅伯特·奧曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。

斯塔1969年的論文與當代經濟學

肯尼斯·阿羅（1972年諾貝爾獎得主）幫助羅斯·斯塔研究非凸經濟體。

肯尼斯·阿羅收集前人研究經濟學中的非凸集的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家勞埃德·沙普利和強·福克曼參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。

斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為$p_{\mathrm {opt} }$的準均衡，滿足下列條件：

• 對每個準均衡$p_{\mathrm {opt} }$，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
• 在該價格$p_{\mathrm {opt} }$，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
• 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。

斯塔確立以下結論：

「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」

斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集」，除以上得主着重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康托羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都着重。

沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微觀經濟學、一般均衡理論、公共經濟學（包括市場失靈）、博弈論、數理經濟學、經濟學中的應用數學。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和積分理論。

最優化理論

函數稱為凸，意思是圖像上方的區域為凸集。

沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。

最優化理論的前置概念

非線性規劃依賴下列有關函數的若干定義：

• 函數$f$（定義在集合$D$上）的圖像，是所有參數$x$與相應取值$f(x)$組成的二元組的集合：

$\mathrm {Graph} (f)=\{(x,f(x)):x\in D\}.$

• 實值函數$f$的蓋圖是圖像上方的點的集合：

正弦函數並非凸函數。

$\mathrm {Epi} (f)=\{(x,u):f(x)\leq u\}.$

• 實值函數稱為凸函數，意思是其蓋圖為凸集。

舉例，二次函數$f:x\mapsto x^{2}$為凸，而絕對值函數$g:x\mapsto |x|$亦然，但正弦函數$\sin$（如圖）則不然，因為在區間$(0,\pi )$的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

加性優化問題

許多優化問題中，目標函數$f$可分離變數（可分），即$f$是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：

$f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{n}f_{n}(x_{n}).$

又例如，線性規劃問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解

${\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})_{\mathrm {min} },$

在該點取到最小值$f({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} })$。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項$f_{n}$的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列$({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))_{j=1}^{\infty }$的極限，其中

$({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))\in \sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (\mathrm {Graph} (f_{n})).$

當然，因為此點是$N$個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析，1974年由埃科蘭德發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定條件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。

概率與測度論

凸集常與概率論一同研究。卡拉西奧多里定理說明，$d$維空間的（非空）子集$Q$凸包中的點，是取值於$Q$的簡單隨機向量的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於$d+1$個點處有非零概率。所以，對非空集$Q$，取值自$Q$的簡單隨機向量組成的集合，等於$Q$的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論，例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差原理。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。

概率測度是有限的測度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如體積或向量測度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒貝格測度。

高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量測度的值域為凸。值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某測度空間有兩種概率測度$p_{1}$和$p_{2}$，則可定義一個向量測度$(p_{1},p_{2})$，是對每個事件$\omega$，將其兩個概率結合為一個二元組，即

$(p_{1},p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega )).$

李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。

參考文獻

• Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好與近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [經濟學201B: 經濟理論（課堂講義）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始內容存檔 (PDF)於2012-03-10） （英語）. 
• Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. General competitive analysis [一般競爭分析]. Advanced Textbooks in Economics 12 San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. Mathematical Economics Texts 6之重印版. Amsterdam: North-Holland. 1980 [1971]. ISBN 0-444-85497-5. MR 0439057 （英語）. 
• Artstein, Zvi. Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points [離散與連續砰砰及面空間，又或：找極值點]. SIAM Review. 1980, 22 (2): 172–185. JSTOR 2029960. MR 0564562. doi:10.1137/1022026 （英語）. 
• Carter, Michael. Foundations of mathematical economics [數理經濟學基礎]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 2001: xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841. (作者網站有習題題解). （原始內容存檔於15 September 2006） （英語）. 
• Diewert, W. E. 12 Duality approaches to microeconomic theory [第12章：微觀經濟學的對偶進路]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (編). Handbook of mathematical economics, Volume II [數理經濟學手冊・卷二]. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1982: 535–599 [2021-08-31]. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 0648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4. （原始內容存檔於2012-12-10） （英語）. 
• Ekeland, Ivar. Appendix I: An a priori estimate in convex programming [附錄一：凸規劃的先驗估計]. Ekeland, Ivar; Temam, Roger (編). Convex analysis and variational problems [凸分析與變分問題]. Classics in Applied Mathematics 28 Corrected reprinting of the North-Holland. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 1999: 357–373 [1976]. ISBN 0-89871-450-8. MR 1727362 （英語）. 
• Green, Jerry; Heller, Walter P. 1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics [第1章：數學分析與凸性，及在經濟學之應用]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (編). Handbook of mathematical economics, Volume I. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1981: 15–52. ISBN 0-444-86126-2. MR 0634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9 （英語）. 
• Guesnerie, Roger. First-best allocation of resources with nonconvexities in production [生產非凸的資源之最優分配]. Cornet, Bernard; Tulkens, Henry (編). Contributions to Operations Research and Economics: The twentieth anniversary of CORE (Papers from the symposium held in Louvain-la-Neuve, January 1987) [運籌學與經濟學投稿：二十周年（[[新魯汶]]1987年舉辦討論會的論文集）]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 1989: 99–143. ISBN 0-262-03149-3. MR 1104662 （英語）. 
• Howe, Roger. On the tendency toward convexity of the vector sum of sets [論集合的向量和趨向凸] (PDF) (報告) 538. New Haven, Conn.: Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University. 3 November 1979 [1 January 2011]. （原始內容存檔 (PDF)於2011-08-07） （英語）. 
• Mas-Colell, A. Non-convexity [非凸性]. Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (編). The new Palgrave: A dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] first. Palgrave Macmillan. 1987: 653–661 [2021-08-31]. ISBN 9780333786765. doi:10.1057/9780230226203.3173. (Mas-Colell個人主頁的PDF檔). （原始內容存檔於2017-11-21） （英語）. 
• Rockafellar, R. Tyrrell. Convex analysis [凸分析]. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, N.J.: Princeton University Press. 1997: xviii+451. ISBN 0-691-01586-4. MR 1451876 （英語）.  1970年(MR274683) Princeton Mathematical Series 28的重印版。
• Schneider, Rolf. Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory [凸體：布倫-閔可夫斯基理論]. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 44. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1993: xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521 （英語）. 
• Starr, Ross M. Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences (Appendix 2: The Shapley–Folkman theorem, pp. 35–37) [有非凸偏好的市場的準均衡（附錄2:沙普利-福克曼定理，pp. 35–37）]. Econometrica. 1969, 37 (1): 25–38. JSTOR 1909201. doi:10.2307/1909201 （英語）. 
• Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N (new chapters 22 and 25–26 in (2011) second ed.) [第8章：R^N中的凸集、分離定理、非凸集（及2011年第二版新增的第22、25、26諸章）]. General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理論：導論] First. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1997: xxiii+250. ISBN 0-521-56473-5. MR 1462618 （英語）. 
• Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (編). The new Palgrave dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始內容存檔於2017-03-16） （英語）. 

外部鏈結

• Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好與近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [經濟學201B: 經濟理論（課堂講義）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始內容存檔 (PDF)於2012-03-10）. 
• Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N (Section 8.2.3 Measuring non-convexity, the Shapley–Folkman theorem) [第8章：R^N中的凸集、分離定理、非凸集（第8.2.3小節：量度非凸性、沙普利-福克曼定理）] (PDF). General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理論：導論]. September 2009: 3–6 [2021-08-31]. ISBN 9781139174749. MR 1462618. doi:10.1017/CBO9781139174749. （第二版的書稿，來自斯塔在加州大學聖地亞哥分校經濟學系的課程）. （原始內容存檔 (PDF)於2010-07-01） （英語）. 
• Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (編). The new Palgrave dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始內容存檔於2017-03-16） （英語）.