本質上確界和本質下確界的概念與上確界和下確界有關,但前者與測度論的關聯性更大,其中通常要涉及不是處處都成立的命題[註 1],而是幾乎處處,也就是說,除了在測度為零的集合以外。
設(X, Σ, μ)為測度空間,並設f : X → R為定義在X上的實函數,它並不一定是可測的。實數a稱為f的上確界,如果對於X內的所有x,都有f(x) ≤ a,也就是說,集合
![{\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd251c06d46e30f69692970b3eaa52cb46c388da)
是空集。而a稱為本質上確界,如果集合
![{\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd251c06d46e30f69692970b3eaa52cb46c388da)
的測度為零,也就是說,對於X內的幾乎所有x,都有f(x) ≤ a。
更加正式地,f的本質上確界,ess sup f,定義為:
![{\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9a91226318b4483cd5541937fdafdace0a68af)
如果本質上確界的集合
不是空集,否則ess sup f = +∞。
類似地,我們也可以定義本質下確界:
![{\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f573858b155f25887b20291651d794088b1796c)
如果本質下確界的集合不是空集,否則為−∞。
在實數軸上,考慮勒貝格測度和它對應的σ代數Σ。用以下公式定義f:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\mbox{if }}x=1\\-4,&{\mbox{if }}x=-1\\2,&{\mbox{ otherwise. }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b1f4e1e0ff274953087828b70ecfe07f9a4a0e)
這個函數的上確界(最大值)是5,下確界(最小值)是−4。然而,函數只在集合{1}和{−1}內才取得這些值,它們的測度為零。在所有其它地方,函數的值為2。因此,函數的本質上確界和本質下確界都是2。
作為另外一個例子,考慮以下的函數:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3775e680bfec8858ac006f44b8b9b535a41f0b)
其中Q表示有理數。這個函數既沒有上界也沒有下界,所以上確界和下確界分別是∞和−∞。但是,從勒貝格測度的角度來看,有理數集合的測度為零;因此,真正有關的是在這個集合的補集發生的事情,其中函數由arctan x給出。於是,函數的本質上確界是π/2,本質下確界是−π/2。
最後,考慮函數f(x) = x3對於所有的實數x。它的本質上確界是+∞,本質下確界是−∞。
![{\displaystyle \inf f\leq \mathrm {ess} \inf f\leq \mathrm {ess} \sup f\leq \sup f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bea45eb769f82b12c966b2125455521fec64ca)
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