歐氏平面幾何中,婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式,以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。
基本形式[編輯]
婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式,是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,則其面積為:
![{\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bb6f53fd4ca88e345a311cabd057a894800c08)
其中s為半周長:
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a6c920113669712d86ee8baf3c58fc683de8dd)
圓內接四邊形的面積 =
的面積 +
的面積
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa3ac96481179a47ac6651e138bfc0f9c9f84b8)
但由於
是圓內接四邊形,因此
。故
。所以:
![{\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cf7527a016705d4acd680fb5a28d72fa3ad3b5)
![{\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb18f2f15d4b32fa6f7c9ee5d88096f831e2152)
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa17191494e6f4a98bd46e515ac0715f7cd3ea8)
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0a797a903c54510411e662dfcaf5f41bfa9adc)
對
和
利用餘弦定理,我們有:
![{\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cecba1e23227589f6afa4731ac1d4d1cb4c719)
代入
(這是由於
和
是互補角),並整理,得:
![{\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60cee5c8b593789b02866684f12b8dd6cbbaae5)
把這個等式代入面積的公式中,得:
![{\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554aa349d97cf6912430e1aec68a93bb5ed100cb)
![{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060450a58b6bb8a5384b9245f3c522a4c7fb0036)
它是
的形式,因此可以寫成
的形式:
![{\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b65d5b62b3949dc245f56c3d88295b1f953870)
![{\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389f3fb3ec2407821704c894329c2981798621ed)
![{\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1de6c7074782fb30c8fbf282074a90ba1d71cda)
引入
,
![{\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95020ba1593bd18680476eea23dbc23ca5b870a2)
兩邊開平方,得:
![{\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c47599c37695471a37c75f0ac8b1b167a0e665)
證畢。
更特殊情況[編輯]
若圓O的圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切於圓C,則其面積為:
![{\displaystyle {\sqrt {abcd}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7aa6c150fb0af44d6e1a6acf01b44e25258087)
由於四邊形內接於圓O,所以:
![{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4016e4957d9ae7f25ec1941dcb23ab5412ded81)
其中p為半周長:
![{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42743749b160ae9c8c398ae0df7e3121d5249ccd)
又因為四邊形外切圓C,所以:
![{\displaystyle a+c=b+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ef6bd66c184b2f27a91e0bcac1d41fb2073063)
則:
![{\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e973eeefdfecbe54f273c94bf8ed0f7b9cfd299c)
同理:
,
,
綜上:
證畢。
一般情況[編輯]
布雷特施奈德公式[編輯]
對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式,其敘述如下:
![{\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0869b948d7880c13ff38a4b9508c1a99f00b4b93)
其中
是四邊形一對對角和的一半。
注意到不論取到哪一對對角
的值都一樣,因為四邊形的內角和是
,故如果選取到的是另一對角,其對角和的一半是
。而
,所以有
。
假設此時四邊形恰好四頂點共圓,由於圓內接四邊形的對角和為
,因此
,而且由
,可推得此時
,布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。
柯立芝公式[編輯]
另一個由柯立芝所證明的公式如下[1]:
![{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a5887a216f6507a9e638ff8858d26102b161e4)
其中 p 及 q 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中,根據托勒密定理我們有
,此公式退化回為婆羅摩笈多公式。
相關定理[編輯]
海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取
的特殊情形。
婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。
- ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.